arcsinx的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

方法如下，
请作参考：

Answer 2

利用分部积分法则可
同时需要知道(arcsinx)'=1/√(1-x^2),用反函数求导技巧易得
∫arcsinxdx
=xarcsinx-∫xdarcsinx
=xarcsinx-∫x/√(1-x^2)dx
=xarcsinx+1/2∫1/√(1-x^2)d(1-x^2)
=xarcsinx+√(1-x^2)+C

Answer 3

arcsinx的不定积分=xarcsinx+2√(1-x^2)+C

具体回答如下：

∫arcsinxdx

=∫arcsinx（x）'dx

=xarcsinx-∫xd(arcsinx)

=xarcsinx-∫x/√(1-x^2)dx

=xarcsinx+∫(1-x^2)'/√(1-x^2)dx

=xarcsinx+∫1/√(1-x^2)d(1-x^2)

=xarcsinx+2√(1-x^2)+C

证明

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

Answer 4

∫ arcsinx dx
=xarcsinx -∫ x/√(1-x^2) dx
=xarcsinx +(1/2)∫ (1-x^2)/√(1-x^2)
=xarcsinx +√(1-x^2) +C