数学期望的概念是怎样推导的?

Question

如题所述

Answer 1

数学期望是一个概率统计的概念，它描述了随机变量取值的平均水平。具体来说，数学期望的定义是根据随机变量的概率分布来计算的。

假设有一个离散型随机变量 X，其可能的取值集合为 {x1, x2, ..., xn}，对应的概率集合为 {p1, p2, ..., pn}。那么，数学期望 E[X] 的定义如下：

E[X] = x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn

这个公式描述了随机变量 X 取值的加权平均，其中 xi 是随机变量 X 的第 i 个可能取值，pi 是相应的概率。

如果随机变量 X 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 f(x)，那么数学期望 E[X] 的定义稍有不同。在这种情况下，数学期望可以表示为：

E[X] = ∫ x * f(x) dx

这个公式描述了随机变量 X 取值的积分平均，其中 f(x) 是随机变量 X 的概率密度函数。

在推导数学期望的公式时，我们通常会使用概率论的基本性质和积分运算的性质。例如，如果我们知道一个随机变量的概率分布，我们可以使用概率加法定理来计算数学期望。此外，我们还可以使用积分运算的性质来计算连续型随机变量的数学期望。

需要注意的是，数学期望是一个理论概念，它通常不能通过实验或观察来直接得出。相反，数学期望是通过概率分布和积分运算来推导的。

Answer 2

数学期望定义是E(X)=S xf(x) dx;
由大数定理和中心极限定理知，当从总体抽出的样本数很大时，其样本值的算术平均值就趣向与总的

期望（当然我说的是离散型的 连续可作类似的理解），因为抽样是随机的，所以通过从总体中抽样算出的总体的期望就要求级数Sxf(x) dx应不因项的顺序变化而改变其和,对于积分也应满足这一要求。

而Sxf(x) dx应不因项的顺序变化而改变其和（比如交错级数收敛，但其偶数项或奇数项不一定收敛）

也要求它绝对收敛。
所以数学期望要求Sxf(x) dx绝对收敛，Sxf(x) dx绝对收敛一定能推出Sxf(x) dx收敛，推出数学期望存在。故级数Sxf(x) dx收敛是期望存在的充分必要条件。