已知圆C通过不同的三点P(m,0),Q(2,0),R(0,1),且CP的斜率为-1
(1)试求圆C的方程
(2)过远点O做两条互相垂直的直线l1,l2,分别交圆C于E,F,G,H四点,求四边形EGFH面积的最大值
第一问我算了一下,但是不知道对不对,我把点往里面都代了一下,感觉没问题
算出来m=2,圆C是(x-7/6)^2+(y-5/6)^2=25/18
希望大家帮忙看一下,尤其是第二问
先看第一个问题。楼主做错了,主要是判断情况时出现的错误。
首先P、Q、R三点都在圆上,故到圆心的距离都相等。不妨设圆心C为(a,b).
则有:CM=CQ=CR ==》 同时平方
既是:(2-a)^2+b^2=a^2+(1-b)^2=(m-a)^2+b^2 一式
由此可得,4a-2b=3 二式
又因为cp直线的斜率为-1。有b/(m-a)=-1 所以有m=a+b 三式
把m=a+b带入一式。有(2-a)^2=b^2 有2-a=+b(要舍去。因为变形既是a+b=2。也就是m点为Q点。错误) 或者2-a=-b 四式
由二、四式有a=-0.5 b=-2.5
所以圆的方程为(x+0.5)^2+(y+2.5)^2=12.5
如下图:
问题二。
第二问有一定的技巧,这里不用设点,那样未知数太多,会比较麻烦。
观察图知。四边形的对角线互相垂直。故面积为对角线之积(用两个三角形的面积之和推导)。
设四边形的对角线长度分别m、n。则面积为mn/2。
技巧来了。用不等式mn小于等于(m^2+n^2)/2.m=n时。取等号。
故由该不等式知。当四边形的对角线相等时。有面积最大
也就是四边形为等腰梯形时面积最大。
下面的工作,就是算出对角巷的长度(当m=n时)。m=n=37开平方 (这个就麻烦你自己算了)
故最大面积为mn=37 /2