y=x(cosx)/x2+1的奇偶性

Question

如题所述

Answer 1

如果是：y=xcosx/(x²+1)，那么：
令f(x)=y=xcosx/(x²+1)
x²+1恒>0，x取任意实数，函数表达式恒有意义，函数定义域为R
f(-x)=(-x)cos(-x)/[(-x)²+1]=-xcosx/(x²+1)=-f(x)
函数是奇函数。

y=[e^x -e^(-x)]/2
e^x -e^(-x)=2y ①
[e^x-e^(-x)]²=4y²
[e^x+ e^(-x)]² -4=4y²
[e^x+ e^(-x)]²=4y²+4
e>0，e^x恒>0，e^(-x)恒>0，e^x+ e^(-x)恒>0
e^x+ e^(-x)=√(4y²+4)
e^x+ e^(-x)=2√(y²+1) ②
①+②，得：2e^x=2y+2√(y²+1)
e^x=y+√(y²+1)
x=ln[y+√(y²+1)]
y取任意实数，函数表达式恒有意义
将x、y互换，得函数的反函数为：f⁻¹(x)=y=ln[x+√(x²+1)]

Answer 2

题目中给的函数是奇函数；
设e^x=t那么2y=t-1/t
所以t^2-2yt-1=0所以t=y+√（y^2+1）
所以e^x=y+√（y^2+1）
x=ln【y+√（y^2+1）】
所以反函数f（x）=ln【x+√（x^2+1）】