设A为m乘n实矩阵，且r（A）=m<n，试证：A的转置乘以A为m阶正定矩阵。

Question

如题所述

Answer 1

题目应该是A乘A的转置为m阶正定矩阵。
(AAT)T=AAT为对称阵
任取m维向量x，考察xT(AAT)x=((ATx)T)ATx
设xi为向量Ax的第i个元素，则((ATx)T)ATx=x1*x1+…+xn*xn>=0
r(A)=m，ATx=0可推出x=0（原因是解空间维度为m-m=0）
因此，仅当x=0时xT(AAT)x=0
A乘A的转置为m阶正定矩阵，命题得证

Answer 2

(AAT)T=AAT为对称阵

R(A)=M,存在P,PA=(E,0)

xT(PA)(PAT)Tx=(xPT)TAAT(PTx)
显然有PA正定，故x不为零，又得x不为零！故PTx不为零，所以正定！