向量的运算法则主要有：向量的加减法、数乘向量、向量的数量积、向量的向量积、三向量的混合积等。
1、向量的加减法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，即两个向量的和等于以它们为边的平行四边形或三角形的对角线向量。向量的加法满足交换律和结合律，即a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。向量的减法等于加上相反向量，即a-b=a+(-b)。向量的减法满足加减变换律，即a+(-b)=a-b。
2、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣×∣a∣。当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
数乘向量满足结合律、分配律和消去律，即(λa)×b=λ(a×b)=(a×λb)，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb，如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b；如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
3、向量的数量积
两个非零向量a和b的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b=|a|×|b|×cos〈a,b〉；若a、b共线，则a×b=±∣a∣∣b∣。向量的数量积满足交换律、结合律和分配律，即a×b=b×a，(λa)×b=λ(a×b)，（a+b)×c=a×c+b×c。
4、向量的向量积
两个非零向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则∣a×b∣=|a|×|b|×sin〈a,b〉；若a、b共线，则a×b=0。向量的向量积满足反交换律、结合律和分配律，即a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；a×（b+c）=a×b+a×c。
5、三向量的混合积
三向量的混合积是指给定空间中的三个向量a、b、c，先求a和b的向量积a×b，再用所得的向量和c做数量积(a×b)×c，所得的数值就是三向量的混合积，记作[abc]或(abc)或(a,b,c)。