过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点，A,B两点到椭圆中心的距离相等吗？
相等
证：设椭圆以坐标原点为中心，焦点在x轴上的标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1
a>b>0,a^2=b^2+c^2,如果a=b>0,x^2/a^2+y^2/a^2=1,x^2+y^2=a^2,是以（0,0）为圆心，/a/=a>0为半径，的圆了，不是椭圆，
设过原点的直线的方程，1.斜率不存在，x=m,与椭圆有两个交点，-a<m<a,m=+-a的时候，直线和椭圆相切，只有一个切点（交点）（a,0)or(-a,0),与题干矛盾，所以m=+-a取不到，
-a<m<a,x=m,b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2
b^2m^2+a^2y^2=a^2b^2
a^2y^2=a^2b^2-m^2b^2
y^2=b^2-m^2b^2/a^2
y^2=b^2(1-m^2/a^2)=b^2(a^2/a^2-m^2/a^2)=b^2(a^2-m^2)/a^2=b^2/a^2(a^2-m^2)=(b/a)^2(a^2-m^2)
/y/=b/a(a^2-m^2)^1/2,-a<m<a,m^2<a^2,0<a^2-m^2,a^2-m^2>0,根号里面为正数，根号肯定有意义。
y=+-b/a(a^2-m^2)^1/2,
A(m,b/a(a^2-m^2)^1/2),B(m，-b/a(a^2-m^2)^1/2）
OA^2=m^2+(b/a)^2(a^2-m^2)=m^2+b^2-b^2m^2/a^2=(m^2a^2+b^2a^2-b^2m^2)/a^2=[m^2a^2-m^2b^2+a^2b^2]/a^2=[m^2(a^2-b^2)+a^2b^2]/a^2=[m^2c^2+a^2b^2]/a^2
OA=(m^2c^2+a^2b^2)^1/2/a
OB^2=m^2+(b/a)^2(a^2-m^2)
OB=(m^2c^2+a^2b^2)^1/2/a
OA=OB
2.斜率存在，y=kx,b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2,
用y=kx代入（2）式，b^2x^2+a^2k^2x^2=a^2b^2
(b^2+a^2k^2)x^2=a^2b^2
x^2=a^2b^2/(b^2+a^2k^2)
x=+-[a^2b^2/(b^2+a^2k^2)]^1/2=+-/ab//(b^2+a^2k^2)^1/2=+-ab/(b^2+a^2k^2)^1/2
a>b>0,a>0,b>0,ab>0,a为+，b为+，ab>0,++得+，a>0,b>0,ab>0正数x正数=正数。
A(ab/(b^2+a^2k^2)^1/2,kab/(b^2+a^2k^2)^1/2),B(-ab/(b^2+a^2k^2)^1/2,-kab/(b^2+a^2k^2)^1/2)
A(x1,y1),B(-x1,-y1),A和B关于原点中心对称，
这两个点连线AOB形成的线段AB,被O均分成OA和OB两段，线段是关于中点中心对称的图形，线段绕中线顺时针旋转180度之后与原图形重合，线段是轴对称图形，对称轴是它的垂直平分线。
OA=OB,O是线段AB的中点，（几何法）
代数法：OA^2=(x1-0)^2+(y1-0)^2=x1^2+y1^2,OA=+-(x1^2+y1^2)^1/2,OA>=0,不可能为负数，所以舍负根，取（x1^2+y1^2)^1/2>=0,符合它的定义域，OA=(x1^2+y1^2)^1/2
OB^2=(-x1-0)^2+(-y1-0)^2=(-x1)^2+(-y1)^2=x1^2+y1^2,
OB=+-(x1^2+y1^2)^1/2,OB>=0,OB不可能为负数，>=0,非<0,把负根舍去，取正根，OB=(x1^2+y1^2)^1/2,>=0,属于[0,+无穷）和他的值域完全相同
OA=OB（等量代换），a=c,b=c,a=b
代数法证明完成
两种方法都得出OA=OB
终上所述：k存在和k不存在两种情况下，都得出OA=OB这个结论，所以对于过原点的直线与椭圆的两个交点A和B,两个交点与O的距离OA和OB是相等的，因为第一种情况得出OA=OB,第二种情况得出OA=OB,两种情况都得出OA=OB,所以两种情况可以合并，把条件合并，最终的结果OA=OB对任意过原点的直线都成立