异面直线所成角的余弦值公式

Question

如题所述

Answer 1

设向量a是直线a的一个方向向量，向量b是直线b的一个方向向量，直线a，b所成角的余弦值是通过公式：cos向量a，向量b>=[向量a·向量b]/|向量a||向量b||。
再用sinθ=√1-cos^2(θ)公式求出sinθ，弦值是在直角三角形中，对边的长比上斜边的长的值。 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
异面直线
1、直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a，B//b，相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角。
2、异面直线所成角的计算。
（1）平移其中一条或两条使其相交。
（2）连接端点，使角在一个三角形中。（或者平行四边形等可以轻易求出角与角关系的基本平面几何形中）。
（3）计算三条边长，用余弦定理或正弦定理计算余弦值。
（4）若余弦值为负，则取其相反数。
过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）就是异面直线所成的角。角的范围是θ∈（0°，90°]。
几何法和向量法求所成角
几何法
1.平移法。将两条直线或其中一条平移（找出平行线）至它们相交，把异面转化为共面，用余弦定理或正弦定理来求（一般是余弦定理）。一般采用平行四边形或三角形中位线来构造平行线。
2.三余弦定理法。运用三余弦定理关键是要找出一条直线a所在的平面α和另一条直线b在该平面α内的射影，求出b与α所成角以及a与b的射影b‘所成角，进而求a与b所成角。
向量法
1.向量几何法。运用向量的加减法规则，把要求的异面直线用向量表示，并运用向量的运算法则（例如分配律、共线向量）来求出cosθ
2.向量代数法。当容易找到三条两两垂直的直线时，可以以它们的交点为坐标轴原点建立直角坐标系，运用代数方法计算。
如何求异面直线所成的角
（1）直接平移法： 通常的思路是：在两条异面直线其中一条上面选一个端点，引另一条的平行线。
（2）中位线平移（尤其是图中出现了线段的中点时）
（3）补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。