将直线上的每一个点都染上红、黄颜色中的一种，求证：必存在同颜色的3个点，使其中一点是两点连线段的中点

Question

将直线上的每一个点都染上红、黄颜色中的一种，求证：必存在同颜色的3个点，使其中一点是另两点连线段的中点。

Answer 1

反证法：
假设不存在三个同种颜色点，使得其中一个是两点所构成线段的中点.

已知直线上有无数个点，染成红黄两色：必存在同色的两点(其实是无数个点，这里只需取两点)，不妨设这两点都是红点，分别为A,B，距离为l。
现在将线段A,B分别向两边外延l，得端点C,D，并使A为BC中点，B为AD中点。这样一来，由假设知：C,D不能为红点，所以C,D都是黄点。

再取AB的中点O，由假设，O不能为红点，必为黄点。
须知O同时也是线段CD的中点，于是C,O,D构成同色三点，且O为CD中点。这与假设矛盾。
所以假设不成立。

Answer 2

给出一个间接的证明。
只考虑自然数点就可以了。
将染上相同的颜色的点归为一类，自然数被分成两部分，有这样的定理：自然数被分为两部分，必有一部分包含一个无穷长的等差数列（参见《数论的三颗明珠》辛钦）。