设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,an=sn/n+2(n-1)，求证数列{an}是等差数列，并求其

Question

设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1,an=sn/n+2(n-1)，求证数列{an}是等差数列，并求其通项公式an

Answer 1

an=sn/n+2(n-1)
Sn=nan-2n(n-1)
S(n-1)=(n-1)a(n-1)-2(n-1)(n-2)
Sn-S(n-1)=an=nan-2n(n-1)-[(n-1)a(n-1)-2(n-1)(n-2)]
=nan-2n(n-1)-(n-1)a(n-1)+2(n-1)(n-2)
=nan-2n(n-1)-na(n-1)+a(n-1)+2n(n-1)-4(n-1)
=n[an-a(n-1)]+a(n-1)-4(n-2)
n[an-a(n-1)]-[an-a(n-1)]=4(n-1)
[an-a(n-1)](n-1)=4(n-1)
an-a(n-1)=4
所以数列{an}是等差数列，公差d=4
An=a1+(n-1)d=1+(n-1)*4=4n-3

Answer 2

a[n]=S[n]/n+2(n-1)
na[n]=S[n]+2n(n-1)
(n-1)a[n]=S[n]-a[n]+2n(n-1)=S[n-1]+2n(n-1)
a[n]=S[n-1]/(n-1)+2n ------------(1)
同时因为a[n]=S[n]/n+2(n-1)
有a[n-1]=S[n-1]/(n-1)+2(n-2) ------(2)
(1)-(2)，得
a[n]-a[n-1]=4
所以{an}是等差数列，且公差为4，这样
a[n]=a[1]+4*(n-1)=4n-3

Answer 3

an=sn/n+2(n-1)得Sn=nan－2n(n－1)，利用an=S(n)－S(n－1) (n>1)及a1=1，得到：(n－1)an－(n－1)a(n－1)－4(n－1)=0，即an－a(n－1)=4=常数，从而此数列为等差数列，且公差为4，得：an=4n－3。