在探索数据世界中，随机变量的数字特性如同数据的指纹，它们揭示了变量背后的深刻内涵。首先，让我们聚焦于期望与方差，它们是刻画随机变量分布特性的重要工具。期望，就像经济领域的平均收入，为我们提供了一个直观的总体预期；而方差，则揭示了随机变量取值的波动程度，犹如衡量数据散布的度量。
数学期望，无论对于离散型随机变量 \( X \) 的分布律 \( P(X = x_i) \)，还是连续型随机变量 \( Y \) 的概率密度 \( f_Y(y) \)，其存在条件是相应的级数或积分绝对收敛。定义如下：
离散型期望：若级数 ∑ x_i P(X = x_i) 绝对收敛，记为 E(X)，即为随机变量 \( X \) 的数学期望。
连续型期望：若积分 ∫ y f_Y(y) dy 绝对收敛，记为 E(Y)，是随机变量 \( Y \) 的期望值。
期望具有神奇的性质：常数与随机变量相乘不改变期望值，常数与随机变量相加的期望等于常数与每个随机变量期望的和，以及对于有限个独立随机变量的和，其期望等于各自期望的和。证明过程令人信服，通过概率密度函数的巧妙运用，我们得以揭示这些性质的内在逻辑。
方差，作为期望的变形，同样至关重要。它衡量的是随机变量取值与其期望值的偏离程度。如果随机变量 \( Z \) 的数学期望存在，其方差
V(Z) 用以刻画这种偏离，定义为：
离散型方差： ∑ (x_i - E(X))^2 P(X = x_i) 或 V(X)。
连续型方差： ∫ (y - E(Y))^2 f_Y(y) dy 或 V(Y)。
方差也有其独特的性质：常数乘以随机变量的方差为零，随机变量与常数的差的方差等于各自方差，对于独立的随机变量，它们的和或乘积的方差遵循特定规则。证明通过数学期望的性质和独立性，使得方差的理论更加坚实。
标准差 σ 或均方差，是对方差的标准化处理，便于理解和比较。离散型和连续型的方差都可转换为标准差，它直观地展现了数据分布的宽度。
以上性质和定义，通过严谨的数学证明，为随机变量的分析和应用提供了强有力的工具。无论是期望的直观理解，还是方差的精细测量，都在揭示数据背后的秘密，帮助我们更好地解读随机世界。让我们以陈希孺和盛骤等权威学者的著作作为参考，深入探索这数学上的奇妙世界。