齐次线性方程组中的秩和它解空间的维数有什么关系？

Question

如题所述

Answer 1

可以用维数公式来理解。解空间的维数等于Kernal的维数，而Rank等于Image的维数。而定义域的维数就是矩阵的阶数n。

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组(例如2元1次方程组）。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。

①克莱姆法则.用克莱姆法则求解方程组 有两个前提，一是方程的个数要等于未知量的个数，二是系数矩阵的行列式要不等于零。

用克莱姆法则求解方程组实际上相当于用逆矩阵的方法求解线性方程组，它建立线性方程组的解与其系数和常数间的关系，但由于求解时要计算n+1个n阶行列式，其工作量常常很大，所以克莱姆法则常用于理论证明，很少用于具体求解。

②矩阵消元法.将线性方程组的增广矩阵通过行的初等变换化为行简化阶梯形矩阵 ，则以行简化阶梯形矩阵为增广矩阵的线性方程组与原方程组同解。当方程组有解时，将其中单位列向量对应的未知量取为非自由未知量，其余的未知量取为自由未知量，即可找出线性方程组的解。