能量滤波器

Question

如题所述

Answer 1

能量滤波器是基于滤波器输出端功率信噪比最大化准则设计的，利用能量的差异来进行信号（异常）的分离，它介于最佳滤波器（也可称为维纳信号恢复滤波器）和匹配滤波器之间，这是由于它既可作为检测信号设计（信噪比最大化），又可用于解决分离信号的问题，即估计信号的形状。与匹配滤波器的区别就在于该滤波器的设计需要分别已知信号和噪声的自相关函数，而不要求已知信号的形状，但要求信号和噪声的先验信息应与最佳滤波器（维纳信号恢复滤波器）的设计所需信息一致。此外，在信噪比最大化条件下，信号的形状估计是可能的，因为这里的最大化不是要求仅在一个点的信噪比，而是功率信噪比，即在整个滤波器的长度范围内。

由式（3-13）滤波器输出端功率信噪比为

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式中：h是滤波器单位冲激响应的列矢量；h^T是其转置（为行矢量）；R_ss、R_vv分别为信号和噪声的自相关矩阵。能量滤波器应该具有能使式（3-13）取得最大值的单位冲激响应h（n），同时h（n）应该归一化，即∑h²（n）=1。为了求出h（n），用λ表示ρ_o，由λ对h（k）求导，并令其导数为零，即

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取分子为零，并表示成矩阵形式，即

（R_ssh）·（h^TR_vvh）-（h^TR_ssh）·（R_vvh）=0

整理后得

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所以

（R_ss-λR_vv）h=0 （3-30）

式中：h和λ是未知量；R_ss、R_vv为已知量，上式可表示成

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式（3-31）构成一线性方程组，它的求解可看成是矩阵求特征值问题，参数λ是自相关矩阵（R_ss-R_vv）的特征值，而滤波器的单位冲激响应则是相应的矩阵特征矢量。

所以，能量滤波器的设计可归纳为因子分析问题，因为因子分析中也是求相关矩阵的特征值以及相应的特征矢量。对于相关矩阵（R_ss-R_vv）来说，式（3-30）中的特征值是非负的实数，这与λ的实际物理意义相符，因为λ_max是功率信噪比，即两个正的实数之比。

当（R_ss-R_vv）矩阵的行列式为零时，式（3-31）的线性方程组具有非零解，此时存在满足该方程组的（M+1）个特征值与相应的特征矢量。所有这些特征值可以以递减的形式排列，选取其中最大的，它对应于滤波器输出端功率信噪比最大值，与该λ_max相联系的特征矢量应该为所求的滤波器单位冲激响应。因此，根据满足式（3-31）的所有（M+1）个λ_i特征值，利用矩阵的特征矢量（R_ss-λ_maxR_vv）能保证求解ρ_o最大化问题。

上述讨论的λ_max物理意义：λ_max不是别的，而正是滤波器的输出端功率信噪比最大值。这样，若用主因子分析的概念来表述，那么具有对应于λ_max的特征矢量作为单位冲激响应的滤波器输出y（n）=∑h（i）x（n-i）为第一主因子分量。

λ_max物理意义允许认为：对应于输出的第一主因子分量y（n）保证组成观测场主要分量（最大能量成分）的分离。在场x（n）=s_r（n）+s_a（n）+v（n）模型中，第一主因子分量y（n）一般为区域背景分量。而在x（n）=s_a（n）+v（n）中第一主因子分量y（n）一般为局部异常。

利用［例3-1］的参数设计一个能量滤波器。

［例3-3］输入有用信号［s（0）s（1）］=（3 1），不相关的噪声v（0）=1，v（n）=0，自相关系数［r_ss（0）r_ss（1）］=（10 3），［r_vv（0）r_vv（1）］=（1 0），求取该能量滤波器的单位冲激响应h（n），并分别计算最大信噪比和最大功率信噪比。

解：根据式（3-31），建立方程组，并用矩阵形式表示为

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即

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所以

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令D=0，即（10-λ）²-9=0，得λ₁=13，λ₂=7。选取最大的，即λ₁=13，代入原方程，有

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即h（0）-h（1）=0，并进行归一化，有h²（0）+h²（1）=1，最终得，h（0）=h（1）=0.7071。这时，最大信噪比为

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最大功率信噪比为

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在上述例子中，正如所预料的那样，有λ_max=ρ_o=13，所以ρ_o可以不计算，而直接由λ_max给出。与以前计算的μ_o和ρ_o值相比较，看出：对于能量滤波器，信噪的功率比达到最大值，对于匹配滤波器，信噪比达到最大值，而对于维纳滤波器则都不能达到最大值。

若噪声不相关，特别是白噪随机过程，求解能量滤波器的单位冲激响应大大简化，此时，噪声的自相关矩阵为单位矩阵：对角线上的值为1，而其它非对角线的值为零，即

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那么，式（3-30）变为

（R_ss-λI）h=0

或

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这里，单位冲激响应与上述的例子一样，等于信号自相关矩阵的最大特征值所对应的特征矢量。这个结论具有重要意义，因为在实际数据处理时，如果噪声较弱，那么可以直接利用观测场的自相关矩阵R_xx的估计代替信号的自相关矩阵R_ss的估计，即用R_xx代替式（3-32）中的R_ss。

用于发现形状已知的异常（信号）的匹配滤波器，其单位冲激响应使信号在中心点处的幅度平方与噪声的功率比达到最大值。而在用于发现给定自相关函数的异常（信号）时，能量滤波器的单位冲激响应使等于滤波器长度的信号的功率与噪声功率比达到最大。由于在后一种情况下，信号功率达到最大值的频带内，噪声的功率减小，所以能量滤波器的信号失真大大小于匹配滤波器的信号失真。

与最佳滤波器一样，假若给出信号及噪声的精确自相关函数，滤波器的输出为y_d（n），而利用信号及噪声的自相关函数的估计值（不精确的值）求解的滤波器，其输出为y（n），那么，用二者之间的均方误差来描述能量滤波器的质量，即

ξ=E｛［y（n）-y_d（n）］²｝

若引入h_d（n）和h（n）的自相关函数

、r_hh（m）以及它们之间的互相关函数

，那么

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利用此表达式，可以找出输出随信号与噪声比值的变换规律以及信号和噪声在相关时的输出随相关半径比值的变换规律。对于用高斯型自相关函数

描述的信号和噪声模型来说，В.И.阿尔诺夫针对信号恢复滤波器在不同的

值时计算了ξ随d_v/d_s的变化规律，如图3-3（a）所示。Т.А.特拉菲莫夫针对能量滤波器作了同样的分析，结果见图3-3（b）。比较（a）和（b），可以又一次看出，能量滤波器能用于对信号的估计，由于这种滤波器的估计质量与信号恢复滤波器（最佳（维纳）滤波器）的估计质量差不了多少。

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（a）对最佳滤波器（维纳滤波器）；（b）对能量滤波器

图3-4 利用能量滤波器发现与估计两个信号的结果

（a）具有不同功率的信号s₁（n）和s₂（n）及不相关噪声v（n）；（b）输入信号x（n）=s₁（n）+s₂（n）+v（n）与估计信号s₁（n）；（c）x（n）与

的差即对信号

估计；（d）、（e）分别为估计s₁（n）和s₂（n）滤波器的单位冲激响应

图3-5 利用能量滤波器对ΔZ处理结果

（a）原始观测场与第一主分量；（b）、（c）分别相应于λ₂、λ₃（λ₂＞λ₃）的特征矢量作为滤波器的单位冲激响应时，滤波处理结果；（d）对应于λ₂、λ₃的特征矢量之和作为为带通滤波器时，处理的结果；（e）对应于λ₄的特征矢量作为滤波器的单位冲激响应时，处理结果；（f）原始观测场的自相关系数r（m）

让我们来看一个表明能量滤波器作用的例子，目的是在不相关的噪声背景中发现并分离信号。图3-4（a）给出了两个信号s₁（n）、s₂（n）与均值为零而方差为1的平稳随机过程v（n），x（n）=s₁（n）+s₂（n）+v（n），见图3-4（b）。用两个信号与噪声和x（n）的自相关矩阵R_xx作为信号的自相关矩阵R_ss，对应于自相关矩阵R_xx最大特征值λ_max的特征矢量作为滤波器的单位冲激响应h（n）。在图3-4（b）中也给出了对信号s₁（n）的估计

，说明不仅仅是解决发现（检测）信号的问题，而且也能解决估计信号形状的问题。利用差 x（n）-

可以对信号s₂（n）做类似的估计，见图3-4（c）。

对原始观测场相关矩阵的一系列特征值和相应的特征矢量（即滤波器的单位冲激响应）的计算，允许利用能量滤波器来解决按能量的大小对原始观测场进行信号分解的问题，事实上，将矩阵的特征值按递减的方式排列，即λ₀＞λ₁＞…＞λ_M，并对其中的每一个λ_k值都求解方程组（3-32），解出相应的单位冲激响应。通过滤波器的过滤，即

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式中k为特征值的序号。这样，得到主要成分，而这些主成分反映了按能量递减的观测场的不同成分。用于按能量大小对观测场的不同成分进行分解的能量滤波器，见图3-5所示，该例指出了用能量滤波器从复杂背景中分离异常的可能性。实际上，两到三个组成成分基本上占有原始观测场中所有能量，即该例中观测场的主要能量或方差属于两个特征值。

相关程度与相关半径的差别越大，信号的分离就越准确。在地球物理中经常遇到类似这样的问题，例如，从构造引起很强的背景异常中分离出油气藏所产生的重力异常，在这种情况下，能量滤波器能使功率信噪比最大，能量更大的成分被分离出来，即由构造引起的异常被分离出来。而由油气藏产生的异常则可以通过原始观测场减去构造引起的异常，或者可以通过对应于特征值λ₂计算第二个主成分得到。