1、设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛。
2、求数列的极限，如果数列项数n趋于无穷时，数列的极限能一直趋近于实数a，那么这个数列就是收敛的；如果找不到实数a，这个数列就是发散的。看n趋向无穷大时,Xn是否趋向一个常数,可是有时Xn比较复杂,并不好观察。这种是最常用的判别法是单调有界既收敛。
3、加减的时候,把高阶的无穷小直接舍去如 1 + 1/n,用1来代替乘除的时候,用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小来如 1/n * sin(1/n) 用1/n^2 来代替
4、收敛数列的极限是唯一的，且该数列一定有界，还有保号性，与子数列的关系一致。不符合以上任何一个条件的数列是发散数列。另外还有达朗贝尔收敛准则,柯西收敛准则,根式判敛法等判断收敛性。
拓展资料：
收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。
收敛数列
令{
函数收敛
定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
如果给定一个定义在区间i上的函数列，u1(x）， u2（x） ，u3（x）......至un（x）....... 则由这函数列构成的表达式u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......⑴称为定义在区间i上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数
对于每一个确定的值X0∈I,函数项级数 ⑴ 成为常数项级
u1（x0）+u2（x0）+u3（x0）+......+un（x0）+.... （2） 这个级数可能收敛也可能发散。如果级数（2）发散，就称点x0是函数项级数（1）的发散点。
函数项级数（1）的收敛点的全体称为他的收敛域 ，发散点的全体称为他的发散域 对应于收敛域内任意一个数x，函数项级数称为一收敛的常数项 级数 ，因而有一确定的和s。
这样，在收敛域上 ，函数项级数的和是x的函数S（x），通常称s（x）为函数项级数的和函数，这函数的定义域就是级数的收敛域，并写成S（x）=u1（x）+u2（x）+u3（x）+......+un（x）+......把函数项级数 ⑴ 的前n项部分和 记作Sn(x)，则在收敛域上有lim n→∞Sn(x)=S(x)
记rn(x)=S(x)-Sn(x),rn(x)叫作函数级数项的余项 （当然，只有x在收敛域上rn（x）才有意义，并有lim n→∞rn (x)=0
迭代算法的敛散性
1.全局收敛
对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。
2.局部收敛
若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。
参考资料：百度百科：收敛
要判断函数是否收敛，需要考虑函数的定义域和极限。
以下是一些常见的判断函数是否收敛的方法：
1.通过分析函数的定义式
观察函数的定义式，如果存在一个确定的数值 L，当自变量趋向于某个特定值（如无穷大或有限值）时，函数的取值趋近于 L，则可以判断函数收敛于 L。这可以通过数学推导和观察函数的行为来确定。
2. 极限定义
使用极限的定义来判断函数是否收敛。根据极限定义，如果对于任意给定的正数 ε，存在一个相应的正数 δ，使得当自变量 x 距离某个特定值足够接近时，函数值 f(x) 距离某个特定值足够接近，那么可以判断函数收敛。换句话说，对于任意给定的 ε，存在一个 δ，使得当 |x - a| < δ 时，|f(x) - L| < ε 成立。
3. 递归式或迭代式
对于递归定义或迭代定义的函数序列，可以通过不断迭代计算来判断函数序列是否收敛。如果函数序列随着迭代次数的增加逐渐趋于某个固定的值，那么可以判断函数序列收敛于该值。
4. 使用数值方法
对于无法通过解析方法判断的函数，可以使用数值方法进行近似计算。通过取自变量的一系列值计算函数的近似值，并观察这些近似值是否逐渐趋于某个固定的值，来判断函数是否收敛。
判断函数是否收敛是一个复杂的问题，不同的函数可能需要使用不同的方法和技巧来进行判断。在实际问题中，可以根据函数的性质、定义和具体情况选择适合的方法进行判断。
收敛的典型函数
1.常数函数
对于任意的常数 c，函数 f(x) = c 是一个收敛函数。因为不论 x 取何值，函数值始终为常数 c，没有发散的趋势。
2. 幂函数
当幂指数大于 -1 时，幂函数 f(x) = x^n（n > -1）是一个收敛函数。例如，f(x) = x^2 是一个收敛函数，因为随着 x 的增大或减小，函数值逐渐趋近于正无穷大。
3. 指数函数
指数函数 f(x) = a^x （a > 0，且 a ≠ 1）是一个收敛函数。当 x 趋近于正无穷大时，指数函数 f(x) 增长得非常迅速，但是它并不会超过某个有限的值。
4. 对数函数
对数函数 f(x) = log_a(x) （a > 1）是一个收敛函数。当 x 趋近于正无穷大时，对数函数 f(x) 以递增的速度增长，但是增长速度逐渐减缓，不会达到无穷大。
5. 三角函数
正弦函数 sin(x) 和余弦函数 cos(x) 是收敛函数。在特定的区间内，这些三角函数的函数值在有限范围内波动，不会无限增大或减小。
这只是一些典型的例子，实际上还存在许多其他的收敛函数。收敛函数的特点是在函数的定义域内，函数值随着自变量的变化逐渐趋近于某个有限的值，而不会发散到无穷大或无穷小。
函数是否收敛的判断在数学、物理、工程等领域广泛应用
1. 数值逼近和数值计算，在数值分析和计算方法中，需要对函数进行逼近和计算。判断函数是否收敛可以帮助确定逼近方法的有效性，并保证计算结果的准确性。
2. 极限计算，函数的极限是许多数学问题和证明的关键步骤。判断函数是否收敛可以帮助确定函数的极限是否存在，并为后续的计算和推导提供基础。
3. 级数求和，级数是无穷项的序列求和，而级数收敛与否决定了其求和结果的可行性。通过判断级数的通项函数是否收敛，可以确定级数是否收敛，从而求得其部分和或总和。
4. 物理模型和微分方程，在物理学和工程学中，经常需要建立函数模型来描述现象和解决问题。判断函数模型是否收敛可以确定模型的可靠性和适用性。
5. 优化问题，在优化理论和最优化方法中，需要优化目标函数。判断目标函数是否收敛可以帮助确定优化算法是否有效，并找到最优解。
6. 控制系统和自适应系统，在控制工程中，需要设计控制算法和自适应系统来调节系统行为。判断系统的反馈函数是否收敛可以确定系统的稳定性和性能。
判断函数是否收敛例题
1. 判断函数 f(x) = (3x + 2) / (x - 1) 是否在 x 趋近于 1 时收敛。
解答：当 x 趋近于 1 时，分母 x - 1 趋近于 0，而分子 3x + 2 趋近于 5。所以，在该情况下，函数 f(x) 发散，不收敛。
2. 判断函数 g(x) = (4x - 7) / (2x - 5) 是否在 x 趋近于 2.5 时收敛。
解答：当 x 趋近于 2.5 时，分母 2x - 5 趋近于 0，而分子 4x - 7 趋近于 3。所以，在该情况下，函数 g(x) 收敛到 3/0 的无穷大值。
3. 判断函数 h(x) = 1 / x 是否在 x 趋近于 0 时收敛。
解答：当 x 趋近于 0 时，函数 h(x) 的分母 x 趋近于 0，而分子为常数 1。所以，在该情况下，函数 h(x) 发散，不收敛。
这些例题可以帮助你熟悉如何判断函数是否收敛。注意，在实际判断中，还需要考虑定义域以及其他可能的情况，例如发散到正无穷大或负无穷大。
具体而言，我们可以通过以下几种方法判断函数是否收敛：
代数法：通过直接对函数表达式进行分析，观察自变量的极限情况。如果在自变量趋向于某个值时，函数的极限存在并不随路径的不同而变化，那么函数收敛。
极限定义：使用极限的定义来判断函数是否收敛。对于实数函数，我们可以通过极限的定义来证明函数是否在某个点收敛。
图像观察法：绘制函数的图像，观察自变量趋向于某个值时，函数的图像是否趋于某个固定的点。如果图像显示函数在某点附近逐渐趋于某个值，那么函数收敛于该值。
数值逼近法：通过逐渐减小自变量的取值范围，计算函数的输出值，并观察输出值是否逐渐接近某个值。如果数值逼近趋于稳定，那么函数可能收敛于该值。
请注意，判断函数是否收敛要依赖于具体的函数形式和极限情况。一些函数可能在某个区间或点上收敛，而在其他区间或点上不收敛。因此，进行判断时需要综合考虑函数的定义和特性。
为什么-1的N 次方是发散的？
追答收敛就的越来越接近一个数， 而-1^n为-1，1，-1，1……..循环下去啊 所以发散
追问
那这个D是不是收敛的？
本回答被提问者和网友采纳1. 极限判断：计算函数的极限，如果存在有限的极限值，则函数收敛。例如，对于函数f(x)，如果lim(x∞) f(x)存在，则函数收敛。
2. Cauchy收敛准则：根据Cauchy收敛准则，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当m,n>N时，|f(m) - f(n)| < ε，则函数收敛。
3. 单调有界准则：如果函数单调递增或递减，并且存在一个上界或下界，则函数收敛。例如，对于递增函数f(x)，如果存在实数M，使得对于所有x，f(x) ≤ M，则函数收敛。
4. 夹逼定理：如果存在两个函数g(x)和h(x)，其中g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim(x∞) g(x) = lim(x∞) h(x) = L，则函数收敛，且极限值为L。
需要注意的是，以上方法仅适用于实数函数的判断。对于复数函数的收敛判断，可以使用类似的方法，但需要考虑实部和虚部的极限。