为了在Tomcat下独立运行一个使用Eclipse开发的JSP网站，请按照以下步骤操作：
1. 确保已经正确安装了Java Development Kit (JDK)。
2. 下载并安装Tomcat服务器。可从Apache Tomcat官方网站下载：
http://tomcat.apache.org/download-80.cgi。按照安装向导完成安装，并确保Tomcat的安装目录中包含`conf`、`common`和`webapps`等主要目录。
3. 理解Tomcat目录结构：
- `webapps` 目录用于部署Web应用程序。
- `conf` 目录包含了Tomcat服务器的配置文件。
- `common` 目录用于放置影响整个容器的全局变量配置文件。
4. 创建一个新的Web应用程序目录：`webapps/myapp`，并将你的JSP网站文件放置在此目录下。
5. 在`myapp`目录下创建`WEB-INF`文件夹，并在其中新建一个`web.xml`配置文件，内容如下：
```xml
<!DOCTYPE web-app PUBLIC
"-//Sun Microsystems, Inc.//DTD Web Application 2.3//EN"
"
http://java.sun.com/dtd/web-app_2_3.dtd">
My Web Application
A application for test
```
6. 在`myapp/WEB-INF`目录下创建一个测试文件`index.jsp`，内容如下：
```html
Now time is:
```
7. 修改完毕后，重新启动Tomcat服务器。
8. 打开Web浏览器，访问`
http://localhost:8080/myapp/index.jsp`，你应该能够看到显示当前时间的页面。
以上步骤概述了将Eclipse中开发的JSP网站部署到Tomcat的过程。请注意，这只是一个简单的示例，实际项目中可能包含更为复杂的项目配置。