留数是什么？

Question

如题所述

Answer 1

留数是洛朗展式中-1次方项的系数
1、sin(1/z)=1/z
-
1/(3!z³)
+
...
+
(-1)^n/[(2n+1)!z^(2n+1)]+...
若n为奇数，则z^n与上式相乘后没有1/z这一项，因此留数为0
若n为偶数，则z^n与上式相乘后1/z这一项的系数为：(-1)^(n/2)/(n+1)!
2、不知你写的是sin(z/(z-1))，还是sin(z/(z+1))，我按z-1算
孤立奇点为z=1
sin(z/(z-1))=sin(1+1/(z-1))=sin1cos(1/(z-1))+sin(1/(z-1))cos1
cos(1/(z-1))展式中没有1/(z-1)这一项，
sin(1/(z-1))=1/(z-1)
-
(1/3!)(1/(z-1)²)
+
....
因此sin(1/(z-1))的展式中1/(z-1)系数为1，再乘以cos1，因此本题留数为cos1
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