with 是介词。介词表示的是两个对象的关系。因此，with后面应该跟一个对象，换言之，凡表示一个对象的语法成分都可以放在with后面，如一个名词、名词短语以及名词从句。 如：I'm satisfied with what he has achieved today. "what he has achieved today"就是一个句子，表示一个对象，相当于一个名词。 建议学习英语不要像这样一个点一个点地学习，太死板。要多阅读，在阅读中找共性，你对这种共性的把握就是你的预感。
with是个介词，后面加句子成份，when是个副词，引导一个从句。 如果用when，后面一定是一个完整句子，最少有主谓语，不过当前后主语相同时，从句主语可省。在这个句子里，后面就应该是when your car is badly damaged，因为没有is，后面就不算一个完整句子，所以要用with。