基本不等式是数学中常用的不等式关系，包括四个基本的不等式公式：算术平均-几何平均不等式、均值不等式、柯西-施瓦茨不等式和三角不等式。
1.算术平均-几何平均不等式(AM-GM Inequality)
算术平均-几何平均不等式是指对于非负实数的任意一组数，其算术平均值不小于它们的几何平均值。数学表达式如下：
对于非负实数a1,a2,…,an，有：(a1+a2+…+an)/n≥∛(a1×a2×…×an)这一不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，且当且仅当这些数相等时等号成立。
2.均值不等式(Mean Inequality)
均值不等式是表示一组数据的平方均值不小于它们的算术平均值。常见的均值不等式有平方均值不小于算术平均值的平方和立方均值不小于平方均值的平方等。数学表达式如下：
对于非负实数a1,a2,…,an，有：√((a1^2+a2^2+…+an^2)/n)≥(a1+a2+…+an)/n这个不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的平方均值不小于它们的算术平均值，当且仅当这些数相等时等号成立。
3.柯西-施瓦茨不等式(Cauchy-Schwarz Inequality)
柯西-施瓦茨不等式是表示向量内积的大小关系，适用于内积空间或希尔伯特空间。该不等式也被广泛应用于线性代数和概率论等领域。数学表达式如下：
对于向量a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2,…,bn)，有：|a·b|≤√(a·a)×√(b·b)这一不等式告诉我们，向量a和b的内积的绝对值不大于a和b的模的乘积，等号成立的条件是向量a和b的比例相同。
4.三角不等式(Triangle Inequality)
三角不等式是描述三角形边长之间关系的不等式。在几何学和函数分析中，三角不等式具有重要的应用和性质。数学表达式如下：
对于任意实数a和b，有：|a+b|≤|a|+|b|这一不等式告诉我们，两个实数的和的绝对值不大于它们的绝对值之和，等号成立的条件是a和b具有相同的符号。
这四个基本不等式在数学中都有广泛的应用，涉及了多个数学分支的问题解决。它们在不等式证明、优化问题、概率理论、几何推理等领域都发挥着重要作用，为数学研究和实际问题的解决提供了有力的工具和方法。