已知抛物线y=－1\4x²+bx+c与X轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连结AC,BC,D是线段 OB上一动点，以CD

Question

已知抛物线y=－1\4x²+bx+c与X轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连结AC,BC,D是线段
用户名：蒋****** |分类：初中数学 |浏览845次2014-01-16 17:48
OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，若S△OBC=8，AC=BC.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：BF⊥AB；（3）求∠FBE的度数；（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着移动，求点E所走过的路线长

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为y轴，则b=0；然后利用方程与二次函数的关系求得点B、C的坐标，由S△OBC=8可以求得c的值；
（2）由抛物线y=-1/4 x^2+4交x轴于点A、B，当x=0，求出图象与y轴的交点坐标，以及y=0，求出图象与x轴的交点坐标，即可得出三角形的形状；首先证明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．易证△ODC≌△DME，则DM=OC=4，OD=EM．易求BM=EM．则∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知，BF⊥AB，故 ∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；
（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC的长度．

解：（1）如图，∵AC=BC，
∴该抛物线的对称轴是y轴，则b=0．
∴C（0，c），B（根号4c ，0）．
∵S△OBC=8，
∴1/2OC•OB=1 /2×c×根号4c=8，解得c=4（c＞0）．
故该抛物线的解析式为y=-1/4x^2+4；

（2）证明：由（1）得到抛物线的解析式为y=-1/4x^2+4；
令y=0，得x1=4，x2=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如图，又∵四边形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中

AC＝BC;
∠ACD＝∠BCF;
CD＝CF;
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．
易证△ODC≌△DME，则DM=OC=4，OD=EM．
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC=4根号2