皮亚诺余项只是泰勒展开中的余项,只是说原来的方程不完全等于展开项,还有加上一个修正,它是展开最后一项的无穷小,只是一个修正 所以不用在这上面太纠结。
泰勒公式的余项有两类:一类是定性的皮亚诺余项,另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同,但是作用不同。
一般来说,当不需要定量讨论余项时,可用皮亚诺余项(如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题);当需要定量讨论余项时,要用拉格朗日余项(如利用泰勒公式近似计算函数值)。
扩展资料:
泰勒公式是数学分析中重要的内容,也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具,泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题,且具有很高的精确度。
因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。
参考资料来源:百度百科-泰勒公式
皮亚诺型余项为Rn(x) = o(x^n);
因此再展开时候只需根据要求。
如果是展为带皮亚诺余项的泰勒公式则展为:
如果是展为带皮亚诺余项的麦克劳林公式则令上式a=0展为:
扩展资料
泰勒公式的余项Rn(x)可以写成以下几种不同的形式:
1、佩亚诺(Peano)余项:
这里只需要n阶导数存在。
2、施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche)余项:
其中θ∈(0,1),p为任意正实数。(注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项)
创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好,后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则,所以被称为Cramer法则。
本回答被网友采纳皮亚诺余项只是泰勒展开中的余项,只是说原来的方程不完全等于展开项,还有加上一个修正,它是展开最后一项的无穷小,只是一个修正 所以不用在这上面太纠结。
首先明确一点,就是带皮亚诺型余项的泰勒公式相比带拉格朗日的条件要松一阶,拉格朗日要求f(x) n+1阶可导,而皮亚诺只需要n阶可导。
证明原理:构造一个多项式pn=Σ An*(x-x0)^n
假设构造出的pn与f(x)在x0处n阶相切,即二者在x0的原函数值与1~n阶的每一阶导数都想同,另设R=f(x)-pn,则只要证明,系数An与泰勒公式中的系数一致,且R为x→x0的(x-x0)^n的高阶无穷小即可。
扩展资料:
泰勒公式的余项有两类:
一类是定性的皮亚诺余项
另一类是定量的拉格朗日余项
这两类余项本质相同,但是作用不同。一般来说,当不需要定量讨论余项时,可用皮亚诺余项(如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题);当需要定量讨论余项时,要用拉格朗日余项(如利用泰勒公式近似计算函数值).
参考资料来源:百度百科-泰勒公式
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