高中数学常用公式及结论
1 元素与集合的关系: , .
2 集合 的子集个数共有 个；真子集有 个；非空子集有 个；非空的真子集有 个.
3 二次函数的解析式的三种形式：
(1) 一般式 ;
(2) 顶点式 ;（当已知抛物线的顶点坐标 时，设为此式）
(3) 零点式 ；（当已知抛物线与 轴的交点坐标为 时，设为此式）
（4）切线式： 。（当已知抛物线与直线 相切且切点的横坐标为 时，设为此式）
4 真值表： 同真且真，同假或假
5 常见结论的否定形式;
原结论 反设词 原结论 反设词
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有 个
至多有（ ）个
小于 不小于 至多有 个
至少有（ ）个
对所有 ，成立
存在某 ，不成立
或
且
对任何 ，不成立
存在某 ，成立
且
或
6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）
原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
充要条件： (1)、 ，则P是q的充分条件，反之，q是p的必要条件；
（2）、 ，且q ≠> p，则P是q的充分不必要条件；
(3)、p ≠> p ，且 ，则P是q的必要不充分条件；
4、p ≠> p ，且q ≠> p，则P是q的既不充分又不必要条件。
7 函数单调性:
增函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而增大。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在x D上有定义，若对任意的 ，都有
成立，则就叫f（x）在x D上是增函数。D则就是f（x）的递增区间。
减函数：(1)、文字描述是：y随x的增大而减小。
（2）、数学符号表述是：设f（x）在x D上有定义，若对任意的 ，都有
成立，则就叫f（x）在x D上是减函数。D则就是f（x）的递减区间。
单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；
(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；
注：上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的，是等号左边两个函数定义域的交集。
复合函数的单调性：
函数 单调 单调性
内层函数 ↓ ↑ ↑ ↓
外层函数 ↓ ↑ ↓ ↑
复合函数 ↑ ↑ ↓ ↓
等价关系：
(1)设 那么
上是增函数；
上是减函数.
(2)设函数 在某个区间内可导，如果 ，则 为增函数；如果 ，则 为减函数.
8函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称）
奇函数：
定义：在前提条件下，若有 ，
则f（x）就是奇函数。
性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；
（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间；
（3）、定义在R上的奇函数，有f（0）=0 .
偶函数：
定义：在前提条件下，若有 ，则f（x）就是偶函数。
性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；
（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间；
奇偶函数间的关系：
(1)、奇函数•偶函数=奇函数； （2）、奇函数•奇函数=偶函数；
(3)、偶奇函数•偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也有例外得偶函数的）
(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．
9函数的周期性：
定义：对函数f（x），若存在T 0，使得f（x+T）=f（x），则就叫f（x）是周期函数，其中，T是f（x）的一个周期。
周期函数几种常见的表述形式：
(1)、f（x+T）= - f（x），此时周期为2T ；
（2）、 f（x+m）=f（x+n），此时周期为2 ；
(3)、 ，此时周期为2m 。
10常见函数的图像：
11 对于函数 ( ), 恒成立,则函数 的对称轴是 ;两个函数 与 的图象关于直线 对称.
12 分数指数幂与根式的性质：
(1) （ ，且 ）.
（2） （ ，且 ）.
（3） .
（4）当 为奇数时， ；当 为偶数时， .
13 指数式与对数式的互化式: .
指数性质：
(1)1、 ； （2）、 （ ） ； (3)、
(4)、 ； (5)、 ；
指数函数：
(1)、 在定义域内是单调递增函数；
（2）、 在定义域内是单调递减函数。注： 指数函数图象都恒过点（0，1）
对数性质：
(1)、 ；（2）、 ；
(3)、 ；(4)、 ； (5)、
(6)、 ； (7)、
对数函数：
(1)、 在定义域内是单调递增函数；
（2）、 在定义域内是单调递减函数；注： 对数函数图象都恒过点（1，0）
(3)、
(4)、 或
14 对数的换底公式 : ( ,且 , ,且 , ).
对数恒等式： ( ,且 , ).
推论 ( ,且 , ).
15对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) 。
16 平均增长率的问题（负增长时 ）：
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为 ，则对于时间 的总产值 ，有 .
17 等差数列：
通项公式： （1） ，其中 为首项，d为公差，n为项数， 为末项。
（2）推广：
（3） （注：该公式对任意数列都适用）
前n项和： （1） ；其中 为首项，n为项数， 为末项。
（2）
（3） （注：该公式对任意数列都适用）
（4） （注：该公式对任意数列都适用）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 ；
注：若 的等差中项，则有2 n、m、p成等差。
（2）、若 、 为等差数列，则 为等差数列。
（3）、 为等差数列， 为其前n项和，则 也成等差数列。
（4）、 ；
（5） 1+2+3+…+n=
等比数列：
通项公式：（1） ，其中 为首项，n为项数，q为公比。
（2）推广：
（3） （注：该公式对任意数列都适用）
前n项和：（1） （注：该公式对任意数列都适用）
（2） （注：该公式对任意数列都适用）
（3）
常用性质：（1）、若m+n=p+q ，则有 ；
注：若 的等比中项，则有 n、m、p成等比。
（2）、若 、 为等比数列，则 为等比数列。
18分期付款(按揭贷款) ：每次还款 元(贷款 元, 次还清,每期利率为 ).
19三角不等式：
（1）若 ，则 .
(2) 若 ，则 .
(3) .
20 同角三角函数的基本关系式 ： ， = ，
21 正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
22 和角与差角公式
; ;
.
=
(辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).
23 二倍角公式及降幂公式
.
.
.
24 三角函数的周期公式
函数 ，x∈R及函数 ，x∈R(A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 ；函数 ， (A,ω, 为常数，且A≠0)的周期 .
三角函数的图像：
25 正弦定理 ： （R为 外接圆的半径）.
26余弦定理：
; ; .
27面积定理：
（1） （ 分别表示a、b、c边上的高）.
（2） .
(3) .
28三角形内角和定理 ：
在△ABC中，有
.
29实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：
(1) 结合律：λ(μ )=(λμ) ;
(2)第一分配律：(λ+μ) =λ +μ ;
(3)第二分配律：λ( + )=λ +λ .
30 与 的数量积(或内积)： • =| || | 。
31平面向量的坐标运算：
(1)设 = , = ，则 + = .
(2)设 = , = ，则 - = .
(3)设A ，B ,则 .
(4)设 = ，则 = .
(5)设 = , = ，则 • = .
32 两向量的夹角公式：
( = , = ).
33 平面两点间的距离公式：
= (A ，B ).
34 向量的平行与垂直 ：设 = , = ，且 ，则：
|| =λ .（交叉相乘差为零）
( ) • =0 .（对应相乘和为零）
35 线段的定比分公式 ：设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则
（ ）.
36三角形的重心坐标公式： △ABC三个顶点的坐标分别为 、 、 ,则△ABC的重心的坐标是 .
37三角形五“心”向量形式的充要条件：
设 为 所在平面上一点，角 所对边长分别为 ，则
（1） 为 的外心 .
（2） 为 的重心 .
（3） 为 的垂心 .
（4） 为 的内心 .
（5） 为 的 的旁心 .
38常用不等式：
（1） (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2） (当且仅当a＝b时取“=”号)．
（3）
（4） .
（5） (当且仅当a＝b时取“=”号)。
39极值定理:已知 都是正数，则有
（1）若积 是定值 ，则当 时和 有最小值 ；
（2）若和 是定值 ，则当 时积 有最大值 .
（3）已知 ，若 则有
。
（4）已知 ，若 则有
40 一元二次不等式 ，如果 与 同号，则其解集在两根之外；如果 与 异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.即：
；
.
41 含有绝对值的不等式 ：当a> 0时，有
.
或 .
42 斜率公式 ：
（ 、 ）.
43 直线的五种方程：
（1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )．
（2）斜截式 (b为直线 在y轴上的截距).
（3）两点式 ( )( 、 ( )).
两点式的推广： （无任何限制条件！）
(4)截距式 ( 分别为直线的横、纵截距， )
（5）一般式 (其中A、B不同时为0).
直线 的法向量： ，方向向量：
44 夹角公式：
(1) . ( ， , )
(2) .( , , ).
直线 时，直线l1与l2的夹角是 .
45 到 的角公式：
(1) .( ， , )
(2) .( , , ).
直线 时，直线l1到l2的角是 .
46 点到直线的距离 ： (点 ,直线 ： ).
47 圆的四种方程：
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 ( ＞0).
（3）圆的参数方程 .
（4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是 、 ).
48点与圆的位置关系：点 与圆 的位置关系有三种：
若 ，则 点 在圆外;
点 在圆上; 点 在圆内.
49直线与圆的位置关系：直线 与圆 的位置关系有三种( ):
; ; .
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2， ，则：
;
;
;
;
.
51 椭圆 的参数方程是 . 离心率 ，
准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为： .
52 椭圆 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
， ； 。
53椭圆的的内外部:
（1）点 在椭圆 的内部 .
（2）点 在椭圆 的外部 .
54 椭圆的切线方程:
(1) 椭圆 上一点 处的切线方程是 .
（2）过椭圆 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）椭圆 与直线 相切的条件是 .
55 双曲线 的离心率 ，准线到中心的距离为 ，焦点到对应准线的距离(焦准距) 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为： .
焦半径公式 ， ，
两焦半径与焦距构成三角形的面积 。
56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1）若双曲线方程为 渐近线方程： .
(2)若渐近线方程为 双曲线可设为 .
(3)若双曲线与 有公共渐近线，可设为
（ ，焦点在x轴上， ，焦点在y轴上）.
(4) 焦点到渐近线的距离总是 。
57双曲线的切线方程:
(1)双曲线 上一点 处的切线方程是 .
(2)过双曲线 外一点 所引两条切线的切点弦方程是 .
（3）双曲线 与直线 相切的条件是 .
58抛物线 的焦半径公式:
抛物线 焦半径 .
过焦点弦长 .
59二次函数 的图象是抛物线：
（1）顶点坐标为 ；（2）焦点的坐标为 ；
（3）准线方程是 .
60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式
或
（弦端点A ，由方程 消去y得到
, 为直线 的倾斜角， 为直线的斜率， .
61证明直线与平面的平行的思考途径:
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行.
62证明直线与平面垂直的思考途径:
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。
63证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
(3) 转化为两平面的法向量平行。
64 向量的直角坐标运算：
设 ＝ ， ＝ 则：
(1) ＋ ＝ ；
(2) － ＝ ；
(3)λ ＝ (λ∈R)；
(4) • ＝ ；
65 夹角公式：
设 ＝ ， ＝ ，则 .
66 异面直线间的距离 ：
( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 是 上任一点， 为 间的距离).
67点 到平面 的距离：
（ 为平面 的法向量， ， 是 的一条斜线段）.
68球的半径是R，则其体积 ,其表面积 ．
69球的组合体：
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为 的正四面体的内切球的半径为
(正四面体高 的 ),外接球的半径为 (正四面体高 的 ).
70 分类计数原理（加法原理）： .
分步计数原理（乘法原理）： .
71排列数公式 ： = = .( ， ∈N*，且 )．规定 .
72 组合数公式： = = = ( ∈N*， ，且 ).
组合数的两个性质:(1) = ;(2) + = .规定 .
73 二项式定理 ;
二项展开式的通项公式 .
的展开式的系数关系：
； ； 。
74 互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
个互斥事件分别发生的概率的和：P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
75 独立事件A，B同时发生的概率：P(A•B)= P(A)•P(B).
n个独立事件同时发生的概率：P(A1• A2•…• An)=P(A1)• P(A2)•…• P(An)．
76 n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：
77 数学期望：
数学期望的性质
（1） . （2）若 ～ ,则 .
(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .
78方差：
标准差： = .
方差的性质：
(1) ；
(2）若 ～ ，则 .
(3) 若 服从几何分布,且 ，则 .
方差与期望的关系： .
79正态分布密度函数： ，
式中的实数μ， （ >0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.
对于 ，取值小于x的概率： .
80 在 处的导数（或变化率）：
.
瞬时速度： .
瞬时加速度： .
81 函数 在点 处的导数的几何意义：
函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是 .
82 几种常见函数的导数：
(1) （C为常数）.(2) .(3) .
(4) . (5) ； .
(6) ; .
83 导数的运算法则：
（1） .（2） .（3） .
84 判别 是极大（小）值的方法：
当函数 在点 处连续时，
（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极大值；
（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，则 是极小值.
85 复数的相等： .（ ）
86 复数 的模（或绝对值） = = .
87 复平面上的两点间的距离公式：
（ ， ）.
88实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程 ，
①若 ,则 ;
②若 ,则 ;
③若 ，它在实数集 内没有实数根；在复数集 内有且仅有两个共轭复数根 .
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