关于一元二次方程的题

Question

1.用方程求证：无论m任何实数时，关于x的方程（4m-5-m^2）x^2+(2m-1)x+1=0都是一元二次方程
2.用配方法求当x为实数时，代数式-2x^2+5x+7的最大值
3.用配方法求当x为实数时，代数式1/2 x^2-2x+1的最小值

Answer 1

1,
4m-5-m^2=-(m-2)²-1≠0;
△=(2m-1)²-4*(4m-5-m²)*1
=8m²-20m+21
=2[(4m²-10m+25/4)-25/4]+21
=2(2m-5/2)²-25/2+42/2
=2(2m-5/2)²+17/2>0;
无论m任何实数时，关于x的方程（4m-5-m^2）x^2+(2m-1)x+1=0都是一元二次方程;
2,
-2x^2+5x+7
=-2( x²-5x/2+25/16-25/16)+7
=7-2(x-5/4)²+25/8
=81/8-2(x-5/4)²
-2(x-5/4)²<=0
当x=5/4时,-2(x-5/4)²=0,
代数式-2x^2+5x+7有最大值81/8;
3,
1/2 x^2-2x+1
=(1/2)(x²-4x+4-4)+1
=(1/2)(x-2)²-2+1
=(1/2)(x-2)²-1
(1/2)(x-2)²>=0,
当x=2时,(1/2)(x-2)²=0,
代数式1/2 x^2-2x+1的最小值-1;

Answer 2

1.
4m-5-m^2=-(m-2)^2-1≤-1
所以无论m为任何实数时，关于x的方程（4m-5-m^2）x^2+(2m-1)x+1=0都是一元二次方程
2.
-2x^2+5x+7
=-2（x^2-5/2x)+7
=-2(x^2-5/2x+25/16-25/16)+7
=-2(x-5/4)^2+81/8
当x=5/4时，取最大值81/8
3.
1/2 x^2-2x+1
=1/2（x^2-4x)+1
=1/2(x^2-4x+4-4)+1
=1/2(x-2)^2-2+1
=1/2(x-2)^2-1
当x=2时，取最小值-1

Answer 3

1、判别式=(2m-1)²-4(4m-5-m²)=8(m-5/4)²+17/2恒大于0，所以原式恒有实数根，是一元二次方程
2、原式=-2(x-5/4)²+81/8，所以最大值是81/8
3、原式=1/2(x-2)-1，最小值是-1