高等数学 两个函数的连续性问题

Question

已知f（x）在x0点连续，g（x）在x0不连续。那么f（x）加减乘除g（x）分别得到的函数的连续性是什么情况的。
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Answer 1

f（x）加减g（x）在x0不连续; f（x）乘除g（x）在x0点的连续性是不确定的。
f（x）乘除g（x）在x0点的连续性并非取决于f(x) 在x0是否为0,
g（x）在x0点是否左右极限存在，是否有界，
还要考虑到 g(x)在x0没有定义的情况。
如果是选择题好办了，若是问答题，建议自己多思考，多举实例；不要从直观上来得出结论。追问

你说乘除的情况不取决于f（x）在x0是否为零，那取决于什么。

追答

例如： f(x)= x , f(0)=0
g(x)=1/x, if x 为无理数； g(x)=1, if x 为有理数
h(x)= x, if x 为无理数； h(x)=1, if x 为有理数
当 x->0 时, f(x)*g(x) 没有极限, 在x=0点不连续
当 x->0 时, f(x) / h(x) 没有极限，在x=0点不连续
不要茫从直观。

Answer 2

f（x）在x0点连续，g（x）在x0不连续。那么f（x）乘除g（x）分别得到的函数的连续性, 情况是f(x)在x0处为0.
加减得不到连续函数。

Answer 3

因为lim+f=lim-f,lim+g=/=lim-g
所以lim+(f+g)=lim+f+lim+g=/=lim-f+lim-g=lim-(f+g);f-g情况同上
而lim+(f*g)=lim+f*lim+g=?=lim-f*lim-g
所以f*g的连续性取决于f在x0是是否为0
f/g同上

Answer 4

都连续吧