数学难题：甲乙两人年龄相差几何？请说出所有答案及推理过程。

Question

有甲乙两人。甲说他的年龄是两位数，除以个位上的数得商7余数是6；乙说他的年龄也是两位数，除以十位上的数字与个位上的数字之和得商4余数是9。甲乙两人年龄相差几何？请说出所有答案及推理过程。

Answer 1

解：因为甲的余数为6，则说明甲的个位数不小于7，可能为7，8，9；如果个位数是7，则年龄为55，不满足条件，如果个位数是8，则年龄为62，也不满足条件，如果个位数为9，则年龄为69；显然满足条件，即甲的年龄为69.
因为乙的余数为9，说明乙年龄的十位上的数字与个位上的数字之和大于9，如果和为10，则年龄为49，不满足条件，同样地，和为11，13，14，16，17，18均不满足，当和为12时，年龄为57，当和为15时，年龄为69.
当乙的年龄为57时，两人相差12岁，法乙的年龄为69时，两人的年龄相同。

Answer 2

1、设甲的年龄十位数字是a，个位数字是b，由题意(10a+b)÷b=7…6，因为除数一定大于余数，所以b>6
所以10a+b=7b+6，10a=6b+6
当b=9，a=6
所以甲的年龄是69
2、设乙的年龄十位数字是c，个位数字是d，由题意(10c+d)÷(c+d)=4…9
所以10c+d=4c+4d+9，6c=3d+9
即2c=d+3
当d=1时，c=2，乙的年龄是21
当d=3时，c=3，乙的年龄是33
当d=5时，c=4，乙的年龄是45
当d=7时，c=5，乙的年龄是57
当d=9时，c=6，乙的年龄是69
3、那么甲乙两人年龄相差可能是48、36、24、12、0

Answer 3

甲：个位上的数得商7余数是6 那么个位是6
（10x+y+（y-6））÷y=8 （10x-6）/y=6 6*4 和6*9的个位才会是4 又y大于6 所以 y=9
代入得到x=6 甲年龄是69

乙：乙说他的年龄也是两位数，除以十位上的数字与个位上的数字之和得商4余数是9。
（10x+y+（x+y-9））÷（x+y）=5
(9x-9)÷（x+y）=3 9x-9=3x+3y 2x=y+3 3x=x+y+3 y是奇数 x+y+3 是大于10的3的倍数
3x=x+y+3<9+9+3<21 所以x<7
又x+y>9
那么12<3x<21中x=5或者x=6
当x=5的时候 3x=15=x+y+3=5+3+y y=7 验证
57÷（5+7）=4余9
当x=6的时候 3x=18=x+y+3=6+3+y y=9 验证
69÷（6+9）=4余9

乙满足要求的年龄有2个 一个是57 一个是69
年龄相差69-69=0岁或者69-57=12岁

Answer 4

有甲乙两人。甲说他的年龄是两位数，除以个位上的数得商7余数是6；乙说他的年龄也是两位数，除以十位上的数字与个位上的数字之和得商4余数是9。甲乙两人年龄相差几何？请说出所有答案及推理过程。
解：设甲的年龄为10a+b，(a，b∈N)，依题意，10a+b=7b+6，即有10a-6=6b..........(1)
(1)式只有两组整数解：a=3，b=4；或a=6，b=9；即甲的年龄为34或69。
设乙的年龄为10c+d，（c，d∈N)，依题意，10c+d=4(c+d)+9，即有 6c-9=3d..........(2)
(2)式有5组整数解：
c 2 3 4 5 6
d 1 3 5 7 9
年龄 21 33 45 57 69
故甲乙的年龄差有10种可能：
34-21=13，34-33=1，34-45=-11，34-57==23，34-69=-35；
69-21=48，69-33=36，69-45=24，69-57=12，69-69=0。

Answer 5

对于甲：设年龄十位数为x,个位数位y.那么10x+y=7y+6.得5x=3y+3.在对y取值，可知只有y=9,x=6是等式成立。即甲年龄为69.同理设乙年龄十位数为x，个位数为y，（10x+y）=4*(x+y）+9.得2x=y+3.理同上，对y取值，最后的y=7,x=5或y=9,x=6.则乙的年龄为57或69.那么甲乙年龄相差0或12.