A的伴随矩阵仍是正交矩阵。伴随矩阵通常用A*表示。
正交矩阵的充要条件:
A正交<=> A'A = AA' = E <=> A^-1 = A' (其中A'是A的转置矩阵)。
证明:
由A是正交矩阵 AA' = E（E是全是1的同阶矩阵）
而 |A|^2=|A||A'|=|A'A|=|E|=1
所以 |A| = ±1
由 A* = |A|A^-1
所以 A*=±A^-1
所以 (A*)'A* = (±A^-1)'(±A^-1) = (A^-1)'(A^-1)= (A')'A' = AA' =E
所以 A*是正交矩阵。
扩展资料：
伴随矩阵的性质：
（1）A可逆当且仅当A*可逆；
（2）如果A可逆，则
（3）对于A*的秩有：
伴随矩阵的求法：
（1）当矩阵是大于等于二阶时：
主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式，非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以
x、y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始。主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以
一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。
（2）当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。
（3）二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。
A*仍是正交矩阵
正交矩阵的充要条件:
A正交 A'A = AA' = E A^-1 = A' (A'是A的转置)
证明:
由A是正交矩阵 AA' = E
而 |A|^2=|A||A'|=|A'A|=|E|=1
所以 |A| = ±1
由 A* = |A|A^-1
所以 A*=±A^-1
所以 (A*)'A* = (±A^-1)'(±A^-1) = (A^-1)'(A^-1)= (A')'A' = AA' =E
所以 A*是正交矩阵.
如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。
扩展资料
在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为+1，则称之为特殊正交矩阵。
1.方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2.方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3.A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4.A的列向量组也是正交单位向量组。
5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
参考资料来源：百度百科－正交矩阵
本回答被网友采纳因为A为正交阵
所以A^T=A^-1
于是A^*=det(A)*A^-1=det(A)*A^T
所以(A^*)^-1=[1/det(A)]*(A^T)^-1=[1/det(A)]*(A^-1)^T=[(1/det(A))*A^-1]^T=(A^*)^T
故(A^*)^-1=(A^*)^T
所以A^*也是正交阵.
注:A^*表示A的伴随
A^-1表示A的逆
A^T表示A的转置.
正交矩阵的充要条件:
A正交<=> A'A = AA' = E <=> A^-1 = A' (A'是A的转置)
证明:
由A是正交矩阵 AA' = E
而 |A|^2=|A||A'|=|A'A|=|E|=1
所以 |A| = ±1
由 A* = |A|A^-1
所以 A*=±A^-1
所以 (A*)'A* = (±A^-1)'(±A^-1) = (A^-1)'(A^-1)= (A')'A' = AA' =E
所以 A*是正交矩阵.本回答被网友采纳