把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）如图

Question

把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子．①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm 2 ，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm 2 ，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）．

Answer 1

（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm． 则（40-2x） 2 =484， 即40-2x=±22， 解得x 1 =31（不合题意，舍去），x 2 =9， ∴剪掉的正方形的边长为9cm． ②侧面积有最大值． 设剪掉的小正方形的边长为acm，盒子的侧面积为ycm 2 ， 则y与a的函数关系为：y=4（40-2a）a， 即y=-8a 2 +160a， 即y=-8（a-10） 2 +800， ∴a=10时，y 最大 =800． 即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm 2 ． （2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的长方形盒子的高为xcm． 2（40-2x）（20-x）+2x（20-x）+2x（40-2x）=550， 解得：x 1 =-35（不合题意，舍去），x 2 =15． ∴剪掉的长方形盒子的高为15cm． 40-2×15=10（cm）， 20-15=5（cm）， 此时长方体盒子的长为10cm，宽为5cm，高为15cm．