这是牛顿法原理
把非线性函数f(x)在x = 0处展开成泰勒级数
牛顿法
取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有
f(0 )+(x-0 ) f′(0 )=0
设f′(0 )≠0?，则其解为x = - xf(1)
再把f(x)在x 处展开为泰勒级数，取其线性部分为f(x)=0的近似方程，若f′(x ) ≠0，则得x = - 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：x = - ...(n=0,1,2,…) (2)
例1 用牛顿法求方程f(x)=x +4x -10=0在[1,2]内一个实根，取初始近似值x =1.5。 解 ?f′(x)=3x +8x??所以迭代公式为：
x = -... n=0,1, 2，...
列表计算如下：
n
0
1
2
3
1.5
1.3733333
1.36526201
1.36523001
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第1个回答 推荐于2016-11-19
牛顿法最初由艾萨克·牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中公开提出。而事实上方法此时已经由Joseph Raphson于1690年在Analysis Aequationum中提出，与牛顿法相关的章节《流数法》在更早的1671年已经完成了。
具体原理参考百度百科：http://baike.baidu.com/link?url=plHKMrWTod5Xc3YOY2qG-nIpqh5S025EkFeg6hMpyLhzEi88nPMT-BuUExDjCQPwoQxvdpEwIZvfIiktaODvaa
PQ分析法：产品数量分析是一个很简单但是非常有用的工具。它可以用来对生产的产品按照数量进行分类，然后根据分类结果对生产车间进行布局优化。在组装作业中，可以使用产品数量分析按照物料清单分析零部件的通用性和消耗数量。零部件的通用性是判断不同的产品是否可以混流生产的一个评估标准，而零部件的消耗量判断如何组织零部件的供应很有帮助。没有进行产品数量分析的公司，通常会认为他们的生产不是重复性的，很难利用精益工具进行优化。实际上，产品数量分析能够找出表面上没有规律的市场需求，使得生产型企业能够重新组织生产线，来满足客户的实际需求。
详细参考：http://baike.baidu.com/link?url=IbkHBPHm-gwAK4nb9HH5L41Q4qhGukPI4flc97H0Cgnz_594qo73uIihZrBwRUVDU_Da3TX8rvPFzE4FqcdlWa
具体原理参考百度百科：http://baike.baidu.com/link?url=plHKMrWTod5Xc3YOY2qG-nIpqh5S025EkFeg6hMpyLhzEi88nPMT-BuUExDjCQPwoQxvdpEwIZvfIiktaODvaa
PQ分析法：产品数量分析是一个很简单但是非常有用的工具。它可以用来对生产的产品按照数量进行分类，然后根据分类结果对生产车间进行布局优化。在组装作业中，可以使用产品数量分析按照物料清单分析零部件的通用性和消耗数量。零部件的通用性是判断不同的产品是否可以混流生产的一个评估标准，而零部件的消耗量判断如何组织零部件的供应很有帮助。没有进行产品数量分析的公司，通常会认为他们的生产不是重复性的，很难利用精益工具进行优化。实际上，产品数量分析能够找出表面上没有规律的市场需求，使得生产型企业能够重新组织生产线，来满足客户的实际需求。
详细参考：http://baike.baidu.com/link?url=IbkHBPHm-gwAK4nb9HH5L41Q4qhGukPI4flc97H0Cgnz_594qo73uIihZrBwRUVDU_Da3TX8rvPFzE4FqcdlWa
第2个回答 推荐于2016-12-01
摘 要：提出了一种基于稀疏向量技术的快速算法。该算法采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代/回代法等稀疏向量技术，充分利用了矩阵的稀疏性，避免了求解电力网络方程中的不必要计算，使静态安全分析程序的计算效率得到显著的提高。通过对IEEE-118、IEEE-300算例系统的验算分析，表明了该算法能够显著地减少计算量、缩短计算时间、提高计算速度。
关键词：稀疏向量法；因子化路径；部分重新因子化；快速前代/回代；静态安全分析
1 引言
随着电力系统规模的不断扩大，如何保证系统安全、可靠地运行是电力部门各企业共同关心的首要问题。自电力系统静态可靠性概念提出以来，许多学者对此进行了深入的研究并提出了许多算法。其中，重新因子化法原理简单，程序非常容易实现，但计算量很大，耗用机时长；利用补偿法对系统静态可靠性进行评估[1]的算法使静态安全分析程序向实用化迈出了重要的一步，但该方法没有充分利用导纳矩阵的稀疏性，且算法的计算量随故障重数的增加而急剧增加[2]；文献[3]提出了利用简单的矩阵重新因子化法对系统静态可靠性进行评估，该方法的缺点是重新因子化的子矩阵与修改元素的位置有关，修改元素的位置越靠近原矩阵的顶端，不必要的计算就越多。
本文提出了一种采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代/回代等稀疏向量技术的静态安全分析算法。通过对IEEE-118节点、IEEE-300节点系统的验算表明，本文提出的静态安全分析算法能够显著地提高静态安全分析程序的执行效率，节省大量的计算时间。
2 算法概述
2.1概述
在电力系统中，通常需要求解稀疏代数方程组
A×X=b (1)
式中 A为N阶非奇异的稀疏方阵；X为N维待求列向量；b为N维已知列向量。
采用N-1安全分析法对系统静态可靠性进行定量评估时，会造成系统接线方式的变化从而导致系数矩阵A中的元素发生变化。因此，需要重新求解修改后的方程组
A¢×X=b (2)
式中 A’为 A被修改后的N阶稀疏方阵。
在稀疏代数方程组式(2)的求解过程中，将利用稀疏向量技术。
2.2 稀疏向量法
采用N-1安全分析法对系统进行静态可靠性评估时，由于每次仅需开断系统中的一条线路（包括发电机和负荷），而系统其他部分的接线方式不发生变化，所以，可以利用因子表路径树找出因子表中需要修改的行/列的子集——因子表路径。
因子表路径树[4]完整、直观地显示了稀疏线性方程组在进行系数矩阵LU分解和方程组前代、回代求解过程中行/列操作所应遵循的先后次序关系[5]。图1是一个20节点的系统图，其因子表路径树如图2所示。
因子表路径树的第一排节点称为叶节点，见图2中节点1～8，最后一排节点为根节点，见图2中节点20。从因子表路径树中任一非根节点出发，按从叶节点到根节点的方向有且只有一条路径到
达根节点，这条路径称为因子表路径（简称路径，Path）。按照因子表路径的概念，属于同一条因子表路径中的节点在进行运算时，必须按照从叶节点到根节点的方向执行消去/前代运算，回代运算则必须按反方向即从根节点到叶节点的方向进行。例如：对节点1进行消去和前代运算时，由图2所示的因子表路径树按照从叶节点到根节点的顺序可找出因子表路径中包含的节点集合是{1，9，10，13，18，19，20}，由图3所示的因子表结构图中可看出，该集合正是顺序记录了对节点1进行前代运算过程中，因子表中必须参加前代运算的行号的集合。需要补充说明的是，因子表路径的长度与稀疏矩阵的结构密切相关，即与节点排序的结果有密切的关系。文献[6]对各种节点排序方法进行了介绍。
利用稀疏向量法可方便地确定在前代/回代过程中需要对因子表进行运算的行号/列号的集合，完全避免了传统方法中需要花费大量机时的无谓计算，从而减少了计算量，节省了计算时间。
2.3 基于因子表路径树的矩阵部分三角分解
为了求解式(2)，本文提出了采用基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法对矩阵A’重新进行因子化。
在因子表分解过程中，当因子表中的某个元素发生变化时，仅影响因子表中第m 行、m 列以下子矩阵中部分行/列, 基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法[3]充分利用了这一特点，避免了大量的不必要计算，从而节省了计算量，使程序的执行效率有了显著的提高。例如，在如图1所示的系统中，当因子表中第8行的某一元素发生变化时，矩阵中受到影响的行/列集合如图4中的阴影部分所示。根据稀疏向量法的概念，当稀疏矩阵A的部分元素发生变化时，可以利用因子表路径准确地按顺序确定稀疏矩阵A中需要修改的行/列集合，以避免不必要的计算步骤。
基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法简述如下：
（1）在矩阵A中确定需要修改的元素，并写成如下形式：
B为拟开断线路i-j的导纳值。
（2）根据稀疏向量法确定因子表路径。
（3）根据因子表路径，按照下述公式进行因子表部分重新因子化。
式中分别代表了对矩阵A’进行LDU分解后的对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵；分别代表对矩阵A进行LDU分解后的对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵。
2.4 快速前代/回代
利用N-1安全分析法对系统静态可靠性进行评估时，由于每次仅开断系统中的一条线路（包括发电机和负荷），所以在式(2)求解的过程中，可充分利用已知向量b的稀疏性，依据因子表路径树所确定的因子表路径，按照从叶节点到根节点的顺序进行前代运算。快速前代充分利用了已知向量b的稀疏性，避免了在前代过程中的一切不必要的计算步骤。因此，减少了计算量，缩短了计算时间。
快速回代是指在方程组的回代过程中，如果仅对向量X的部分元素感兴趣，可依据因子表路径树所确定的因子表路径，按照从根节点到叶节点的顺序进行回代运算。由于N-1安全分析法仅会对开断线路的相邻节点和某些重负荷线路的潮流产生较大的影响，所以，可以针对求解问题的不同要求利用快速回代技术缩小求解的规模，最终减少了计算量，提高了程序的执行效率。
3 结果分析
本文利用IEEE-118节点、IEEE-300节点2个系统对提出的算法进行验算，表1给出这2个系统的主要参数。
为了充分显示新型算法的快速性、有效性，本文将2种采用传统方法的静态安全分析程序与利用了推荐算法的静态安全分析程序对算例系统进行了验算。
方案1： 采用传统解法，基于潮流计算的结果，当线路i-j模拟开断时，先修改线路参数，然后对全网重新进行潮流计算。该方法原理简单，只需要对PQ法潮流计算程序作少量的修改，程序容易实现；但是这种方法需要对全网重新进行潮流计算，耗用的机时量大。
方案2： 采用简单部分重新因子化的方法，是对方案1的一种改进，当线路i-j模拟开断时（m=min（i，j）），只对因子表中第m 行和m 列以下的子阵进行重新因子化。该方案与方案1相比，计算量有了很大的减少，节省了许多机时。但是，在计算过程中，仍有部分计算是多余的，尤其是当元素i-j位于矩阵顶部时，无谓计算造成的时间损失更多。
方案3：采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代等稀疏技术的新型算法。当系统线路i-j开断时，对因子表中第m 行和m 列以下的子矩阵按因子表路径进行消去计算（如图4）。该方法与前2种传统的方法相比，充分利用了矩阵的稀疏性，有效地剔除了矩阵计算过程中的不必要计算，使计算量为最小。
以IEEE-118节点、IEEE-300节点为算例，程序运算时间如图5所示：
采用推荐算法的方案3对IEEE-118系统进行静态安全评估时，计算时间比方案1缩短了40%，比方案2缩短了21%；对IEEE-300系统进行静态安全评估时，计算时间比方案1缩短了62.2%，比方案2缩短了32%。需要补充说明的是，算法的执行效率与节点排序有密切的关系。
4 结论
本文提出的静态安全分析算法通过采用稀疏向量法，基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代等稀疏向量技术，能够在求解电力系统网络方程的过程中充分利用系数矩阵的稀疏性，消除不必要计算。
该算法的优点是：
（1）利用了稀疏向量法，并通过利用因子表路径树快速确定方程组求解过程中（主要是前代和回代过程中）必须参与计算的矩阵行/列的集合。
（2）利用了基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法，依据该方法对矩阵中拟进行修改的行/列的消去顺序与原矩阵的消去顺序无关的特点，并利用稀疏向量法中的因子表路径（简称路径），按顺序对只有与路径相关节点的因子表中的行/列进行修改。
（3）利用了快速前/回代技术，其中，快速前代充分利用了方程组右端项的稀疏性，消除了方程组求解过程中的不必要计算步骤；快速回代通过利用稀疏向量法中因子表路径，快速求解感兴趣节点的状态变量。
通过算例的验算分析表明：本文所提出的算法能够显著地提高静态安全分析程序的计算效率，缩短计算时间。本回答被提问者和网友采纳
关键词：稀疏向量法；因子化路径；部分重新因子化；快速前代/回代；静态安全分析
1 引言
随着电力系统规模的不断扩大，如何保证系统安全、可靠地运行是电力部门各企业共同关心的首要问题。自电力系统静态可靠性概念提出以来，许多学者对此进行了深入的研究并提出了许多算法。其中，重新因子化法原理简单，程序非常容易实现，但计算量很大，耗用机时长；利用补偿法对系统静态可靠性进行评估[1]的算法使静态安全分析程序向实用化迈出了重要的一步，但该方法没有充分利用导纳矩阵的稀疏性，且算法的计算量随故障重数的增加而急剧增加[2]；文献[3]提出了利用简单的矩阵重新因子化法对系统静态可靠性进行评估，该方法的缺点是重新因子化的子矩阵与修改元素的位置有关，修改元素的位置越靠近原矩阵的顶端，不必要的计算就越多。
本文提出了一种采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代/回代等稀疏向量技术的静态安全分析算法。通过对IEEE-118节点、IEEE-300节点系统的验算表明，本文提出的静态安全分析算法能够显著地提高静态安全分析程序的执行效率，节省大量的计算时间。
2 算法概述
2.1概述
在电力系统中，通常需要求解稀疏代数方程组
A×X=b (1)
式中 A为N阶非奇异的稀疏方阵；X为N维待求列向量；b为N维已知列向量。
采用N-1安全分析法对系统静态可靠性进行定量评估时，会造成系统接线方式的变化从而导致系数矩阵A中的元素发生变化。因此，需要重新求解修改后的方程组
A¢×X=b (2)
式中 A’为 A被修改后的N阶稀疏方阵。
在稀疏代数方程组式(2)的求解过程中，将利用稀疏向量技术。
2.2 稀疏向量法
采用N-1安全分析法对系统进行静态可靠性评估时，由于每次仅需开断系统中的一条线路（包括发电机和负荷），而系统其他部分的接线方式不发生变化，所以，可以利用因子表路径树找出因子表中需要修改的行/列的子集——因子表路径。
因子表路径树[4]完整、直观地显示了稀疏线性方程组在进行系数矩阵LU分解和方程组前代、回代求解过程中行/列操作所应遵循的先后次序关系[5]。图1是一个20节点的系统图，其因子表路径树如图2所示。
因子表路径树的第一排节点称为叶节点，见图2中节点1～8，最后一排节点为根节点，见图2中节点20。从因子表路径树中任一非根节点出发，按从叶节点到根节点的方向有且只有一条路径到
达根节点，这条路径称为因子表路径（简称路径，Path）。按照因子表路径的概念，属于同一条因子表路径中的节点在进行运算时，必须按照从叶节点到根节点的方向执行消去/前代运算，回代运算则必须按反方向即从根节点到叶节点的方向进行。例如：对节点1进行消去和前代运算时，由图2所示的因子表路径树按照从叶节点到根节点的顺序可找出因子表路径中包含的节点集合是{1，9，10，13，18，19，20}，由图3所示的因子表结构图中可看出，该集合正是顺序记录了对节点1进行前代运算过程中，因子表中必须参加前代运算的行号的集合。需要补充说明的是，因子表路径的长度与稀疏矩阵的结构密切相关，即与节点排序的结果有密切的关系。文献[6]对各种节点排序方法进行了介绍。
利用稀疏向量法可方便地确定在前代/回代过程中需要对因子表进行运算的行号/列号的集合，完全避免了传统方法中需要花费大量机时的无谓计算，从而减少了计算量，节省了计算时间。
2.3 基于因子表路径树的矩阵部分三角分解
为了求解式(2)，本文提出了采用基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法对矩阵A’重新进行因子化。
在因子表分解过程中，当因子表中的某个元素发生变化时，仅影响因子表中第m 行、m 列以下子矩阵中部分行/列, 基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法[3]充分利用了这一特点，避免了大量的不必要计算，从而节省了计算量，使程序的执行效率有了显著的提高。例如，在如图1所示的系统中，当因子表中第8行的某一元素发生变化时，矩阵中受到影响的行/列集合如图4中的阴影部分所示。根据稀疏向量法的概念，当稀疏矩阵A的部分元素发生变化时，可以利用因子表路径准确地按顺序确定稀疏矩阵A中需要修改的行/列集合，以避免不必要的计算步骤。
基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法简述如下：
（1）在矩阵A中确定需要修改的元素，并写成如下形式：
B为拟开断线路i-j的导纳值。
（2）根据稀疏向量法确定因子表路径。
（3）根据因子表路径，按照下述公式进行因子表部分重新因子化。
式中分别代表了对矩阵A’进行LDU分解后的对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵；分别代表对矩阵A进行LDU分解后的对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵。
2.4 快速前代/回代
利用N-1安全分析法对系统静态可靠性进行评估时，由于每次仅开断系统中的一条线路（包括发电机和负荷），所以在式(2)求解的过程中，可充分利用已知向量b的稀疏性，依据因子表路径树所确定的因子表路径，按照从叶节点到根节点的顺序进行前代运算。快速前代充分利用了已知向量b的稀疏性，避免了在前代过程中的一切不必要的计算步骤。因此，减少了计算量，缩短了计算时间。
快速回代是指在方程组的回代过程中，如果仅对向量X的部分元素感兴趣，可依据因子表路径树所确定的因子表路径，按照从根节点到叶节点的顺序进行回代运算。由于N-1安全分析法仅会对开断线路的相邻节点和某些重负荷线路的潮流产生较大的影响，所以，可以针对求解问题的不同要求利用快速回代技术缩小求解的规模，最终减少了计算量，提高了程序的执行效率。
3 结果分析
本文利用IEEE-118节点、IEEE-300节点2个系统对提出的算法进行验算，表1给出这2个系统的主要参数。
为了充分显示新型算法的快速性、有效性，本文将2种采用传统方法的静态安全分析程序与利用了推荐算法的静态安全分析程序对算例系统进行了验算。
方案1： 采用传统解法，基于潮流计算的结果，当线路i-j模拟开断时，先修改线路参数，然后对全网重新进行潮流计算。该方法原理简单，只需要对PQ法潮流计算程序作少量的修改，程序容易实现；但是这种方法需要对全网重新进行潮流计算，耗用的机时量大。
方案2： 采用简单部分重新因子化的方法，是对方案1的一种改进，当线路i-j模拟开断时（m=min（i，j）），只对因子表中第m 行和m 列以下的子阵进行重新因子化。该方案与方案1相比，计算量有了很大的减少，节省了许多机时。但是，在计算过程中，仍有部分计算是多余的，尤其是当元素i-j位于矩阵顶部时，无谓计算造成的时间损失更多。
方案3：采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代等稀疏技术的新型算法。当系统线路i-j开断时，对因子表中第m 行和m 列以下的子矩阵按因子表路径进行消去计算（如图4）。该方法与前2种传统的方法相比，充分利用了矩阵的稀疏性，有效地剔除了矩阵计算过程中的不必要计算，使计算量为最小。
以IEEE-118节点、IEEE-300节点为算例，程序运算时间如图5所示：
采用推荐算法的方案3对IEEE-118系统进行静态安全评估时，计算时间比方案1缩短了40%，比方案2缩短了21%；对IEEE-300系统进行静态安全评估时，计算时间比方案1缩短了62.2%，比方案2缩短了32%。需要补充说明的是，算法的执行效率与节点排序有密切的关系。
4 结论
本文提出的静态安全分析算法通过采用稀疏向量法，基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代等稀疏向量技术，能够在求解电力系统网络方程的过程中充分利用系数矩阵的稀疏性，消除不必要计算。
该算法的优点是：
（1）利用了稀疏向量法，并通过利用因子表路径树快速确定方程组求解过程中（主要是前代和回代过程中）必须参与计算的矩阵行/列的集合。
（2）利用了基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法，依据该方法对矩阵中拟进行修改的行/列的消去顺序与原矩阵的消去顺序无关的特点，并利用稀疏向量法中的因子表路径（简称路径），按顺序对只有与路径相关节点的因子表中的行/列进行修改。
（3）利用了快速前/回代技术，其中，快速前代充分利用了方程组右端项的稀疏性，消除了方程组求解过程中的不必要计算步骤；快速回代通过利用稀疏向量法中因子表路径，快速求解感兴趣节点的状态变量。
通过算例的验算分析表明：本文所提出的算法能够显著地提高静态安全分析程序的计算效率，缩短计算时间。本回答被提问者和网友采纳
第3个回答 2015-05-29
摘 要：提出了一种基于稀疏向量技术的快速算法。该算法采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代/回代法等稀疏向量技术，充分利用了矩阵的稀疏性，避免了求解电力网络方程中的不必要计算，使静态安全分析程序的计算效率得到显著的提高。通过对IEEE-118、IEEE-300算例系统的验算分析，表明了该算法能够显著地减少计算量、缩短计算时间、提高计算速度。
关键词：稀疏向量法；因子化路径；部分重新因子化；快速前代/回代；静态安全分析
1 引言
随着电力系统规模的不断扩大，如何保证系统安全、可靠地运行是电力部门各企业共同关心的首要问题。自电力系统静态可靠性概念提出以来，许多学者对此进行了深入的研究并提出了许多算法。其中，重新因子化法原理简单，程序非常容易实现，但计算量很大，耗用机时长；利用补偿法对系统静态可靠性进行评估[1]的算法使静态安全分析程序向实用化迈出了重要的一步，但该方法没有充分利用导纳矩阵的稀疏性，且算法的计算量随故障重数的增加而急剧增加[2]；文献[3]提出了利用简单的矩阵重新因子化法对系统静态可靠性进行评估，该方法的缺点是重新因子化的子矩阵与修改元素的位置有关，修改元素的位置越靠近原矩阵的顶端，不必要的计算就越多。
本文提出了一种采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代/回代等稀疏向量技术的静态安全分析算法。通过对IEEE-118节点、IEEE-300节点系统的验算表明，本文提出的静态安全分析算法能够显著地提高静态安全分析程序的执行效率，节省大量的计算时间。
2 算法概述
2.1概述
在电力系统中，通常需要求解稀疏代数方程组
A×X=b (1)
式中 A为N阶非奇异的稀疏方阵；X为N维待求列向量；b为N维已知列向量。
采用N-1安全分析法对系统静态可靠性进行定量评估时，会造成系统接线方式的变化从而导致系数矩阵A中的元素发生变化。因此，需要重新求解修改后的方程组
A¢×X=b (2)
式中 A’为 A被修改后的N阶稀疏方阵。
在稀疏代数方程组式(2)的求解过程中，将利用稀疏向量技术。
2.2 稀疏向量法
采用N-1安全分析法对系统进行静态可靠性评估时，由于每次仅需开断系统中的一条线路（包括发电机和负荷），而系统其他部分的接线方式不发生变化，所以，可以利用因子表路径树找出因子表中需要修改的行/列的子集——因子表路径。
因子表路径树[4]完整、直观地显示了稀疏线性方程组在进行系数矩阵LU分解和方程组前代、回代求解过程中行/列操作所应遵循的先后次序关系[5]。图1是一个20节点的系统图，其因子表路径树如图2所示。
因子表路径树的第一排节点称为叶节点，见图2中节点1～8，最后一排节点为根节点，见图2中节点20。从因子表路径树中任一非根节点出发，按从叶节点到根节点的方向有且只有一条路径到
达根节点，这条路径称为因子表路径（简称路径，Path）。按照因子表路径的概念，属于同一条因子表路径中的节点在进行运算时，必须按照从叶节点到根节点的方向执行消去/前代运算，回代运算则必须按反方向即从根节点到叶节点的方向进行。例如：对节点1进行消去和前代运算时，由图2所示的因子表路径树按照从叶节点到根节点的顺序可找出因子表路径中包含的节点集合是{1，9，10，13，18，19，20}，由图3所示的因子表结构图中可看出，该集合正是顺序记录了对节点1进行前代运算过程中，因子表中必须参加前代运算的行号的集合。需要补充说明的是，因子表路径的长度与稀疏矩阵的结构密切相关，即与节点排序的结果有密切的关系。文献[6]对各种节点排序方法进行了介绍。
利用稀疏向量法可方便地确定在前代/回代过程中需要对因子表进行运算的行号/列号的集合，完全避免了传统方法中需要花费大量机时的无谓计算，从而减少了计算量，节省了计算时间。
2.3 基于因子表路径树的矩阵部分三角分解
为了求解式(2)，本文提出了采用基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法对矩阵A’重新进行因子化。
在因子表分解过程中，当因子表中的某个元素发生变化时，仅影响因子表中第m 行、m 列以下子矩阵中部分行/列, 基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法[3]充分利用了这一特点，避免了大量的不必要计算，从而节省了计算量，使程序的执行效率有了显著的提高。例如，在如图1所示的系统中，当因子表中第8行的某一元素发生变化时，矩阵中受到影响的行/列集合如图4中的阴影部分所示。根据稀疏向量法的概念，当稀疏矩阵A的部分元素发生变化时，可以利用因子表路径准确地按顺序确定稀疏矩阵A中需要修改的行/列集合，以避免不必要的计算步骤。
基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法简述如下：
（1）在矩阵A中确定需要修改的元素，并写成如下形式：
B为拟开断线路i-j的导纳值。
（2）根据稀疏向量法确定因子表路径。
（3）根据因子表路径，按照下述公式进行因子表部分重新因子化。
式中分别代表了对矩阵A’进行LDU分解后的对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵；分别代表对矩阵A进行LDU分解后的对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵。
2.4 快速前代/回代
利用N-1安全分析法对系统静态可靠性进行评估时，由于每次仅开断系统中的一条线路（包括发电机和负荷），所以在式(2)求解的过程中，可充分利用已知向量b的稀疏性，依据因子表路径树所确定的因子表路径，按照从叶节点到根节点的顺序进行前代运算。快速前代充分利用了已知向量b的稀疏性，避免了在前代过程中的一切不必要的计算步骤。因此，减少了计算量，缩短了计算时间。
快速回代是指在方程组的回代过程中，如果仅对向量X的部分元素感兴趣，可依据因子表路径树所确定的因子表路径，按照从根节点到叶节点的顺序进行回代运算。由于N-1安全分析法仅会对开断线路的相邻节点和某些重负荷线路的潮流产生较大的影响，所以，可以针对求解问题的不同要求利用快速回代技术缩小求解的规模，最终减少了计算量，提高了程序的执行效率。
3 结果分析
本文利用IEEE-118节点、IEEE-300节点2个系统对提出的算法进行验算，表1给出这2个系统的主要参数。
为了充分显示新型算法的快速性、有效性，本文将2种采用传统方法的静态安全分析程序与利用了推荐算法的静态安全分析程序对算例系统进行了验算。
方案1： 采用传统解法，基于潮流计算的结果，当线路i-j模拟开断时，先修改线路参数，然后对全网重新进行潮流计算。该方法原理简单，只需要对PQ法潮流计算程序作少量的修改，程序容易实现；但是这种方法需要对全网重新进行潮流计算，耗用的机时量大。
方案2： 采用简单部分重新因子化的方法，是对方案1的一种改进，当线路i-j模拟开断时（m=min（i，j）），只对因子表中第m 行和m 列以下的子阵进行重新因子化。该方案与方案1相比，计算量有了很大的减少，节省了许多机时。但是，在计算过程中，仍有部分计算是多余的，尤其是当元素i-j位于矩阵顶部时，无谓计算造成的时间损失更多。
方案3：采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代等稀疏技术的新型算法。当系统线路i-j开断时，对因子表中第m 行和m 列以下的子矩阵按因子表路径进行消去计算（如图4）。该方法与前2种传统的方法相比，充分利用了矩阵的稀疏性，有效地剔除了矩阵计算过程中的不必要计算，使计算量为最小。
以IEEE-118节点、IEEE-300节点为算例，程序运算时间如图5所示：
采用推荐算法的方案3对IEEE-118系统进行静态安全评估时，计算时间比方案1缩短了40%，比方案2缩短了21%；对IEEE-300系统进行静态安全评估时，计算时间比方案1缩短了62.2%，比方案2缩短了32%。需要补充说明的是，算法的执行效率与节点排序有密切的关系。
4 结论
本文提出的静态安全分析算法通过采用稀疏向量法，基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代等稀疏向量技术，能够在求解电力系统网络方程的过程中充分利用系数矩阵的稀疏性，消除不必要计算。
该算法的优点是：
（1）利用了稀疏向量法，并通过利用因子表路径树快速确定方程组求解过程中（主要是前代和回代过程中）必须参与计算的矩阵行/列的集合。
（2）利用了基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法，依据该方法对矩阵中拟进行修改的行/列的消去顺序与原矩阵的消去顺序无关的特点，并利用稀疏向量法中的因子表路径（简称路径），按顺序对只有与路径相关节点的因子表中的行/列进行修改。
（3）利用了快速前/回代技术，其中，快速前代充分利用了方程组右端项的稀疏性，消除了方程组求解过程中的不必要计算步骤；快速回代通过利用稀疏向量法中因子表路径，快速求解感兴趣节点的状态变量。
通过算例的验算分析表明：本文所提出的算法能够显著地提高静态安全分析程序的计算效率，缩短计算时间。
关键词：稀疏向量法；因子化路径；部分重新因子化；快速前代/回代；静态安全分析
1 引言
随着电力系统规模的不断扩大，如何保证系统安全、可靠地运行是电力部门各企业共同关心的首要问题。自电力系统静态可靠性概念提出以来，许多学者对此进行了深入的研究并提出了许多算法。其中，重新因子化法原理简单，程序非常容易实现，但计算量很大，耗用机时长；利用补偿法对系统静态可靠性进行评估[1]的算法使静态安全分析程序向实用化迈出了重要的一步，但该方法没有充分利用导纳矩阵的稀疏性，且算法的计算量随故障重数的增加而急剧增加[2]；文献[3]提出了利用简单的矩阵重新因子化法对系统静态可靠性进行评估，该方法的缺点是重新因子化的子矩阵与修改元素的位置有关，修改元素的位置越靠近原矩阵的顶端，不必要的计算就越多。
本文提出了一种采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代/回代等稀疏向量技术的静态安全分析算法。通过对IEEE-118节点、IEEE-300节点系统的验算表明，本文提出的静态安全分析算法能够显著地提高静态安全分析程序的执行效率，节省大量的计算时间。
2 算法概述
2.1概述
在电力系统中，通常需要求解稀疏代数方程组
A×X=b (1)
式中 A为N阶非奇异的稀疏方阵；X为N维待求列向量；b为N维已知列向量。
采用N-1安全分析法对系统静态可靠性进行定量评估时，会造成系统接线方式的变化从而导致系数矩阵A中的元素发生变化。因此，需要重新求解修改后的方程组
A¢×X=b (2)
式中 A’为 A被修改后的N阶稀疏方阵。
在稀疏代数方程组式(2)的求解过程中，将利用稀疏向量技术。
2.2 稀疏向量法
采用N-1安全分析法对系统进行静态可靠性评估时，由于每次仅需开断系统中的一条线路（包括发电机和负荷），而系统其他部分的接线方式不发生变化，所以，可以利用因子表路径树找出因子表中需要修改的行/列的子集——因子表路径。
因子表路径树[4]完整、直观地显示了稀疏线性方程组在进行系数矩阵LU分解和方程组前代、回代求解过程中行/列操作所应遵循的先后次序关系[5]。图1是一个20节点的系统图，其因子表路径树如图2所示。
因子表路径树的第一排节点称为叶节点，见图2中节点1～8，最后一排节点为根节点，见图2中节点20。从因子表路径树中任一非根节点出发，按从叶节点到根节点的方向有且只有一条路径到
达根节点，这条路径称为因子表路径（简称路径，Path）。按照因子表路径的概念，属于同一条因子表路径中的节点在进行运算时，必须按照从叶节点到根节点的方向执行消去/前代运算，回代运算则必须按反方向即从根节点到叶节点的方向进行。例如：对节点1进行消去和前代运算时，由图2所示的因子表路径树按照从叶节点到根节点的顺序可找出因子表路径中包含的节点集合是{1，9，10，13，18，19，20}，由图3所示的因子表结构图中可看出，该集合正是顺序记录了对节点1进行前代运算过程中，因子表中必须参加前代运算的行号的集合。需要补充说明的是，因子表路径的长度与稀疏矩阵的结构密切相关，即与节点排序的结果有密切的关系。文献[6]对各种节点排序方法进行了介绍。
利用稀疏向量法可方便地确定在前代/回代过程中需要对因子表进行运算的行号/列号的集合，完全避免了传统方法中需要花费大量机时的无谓计算，从而减少了计算量，节省了计算时间。
2.3 基于因子表路径树的矩阵部分三角分解
为了求解式(2)，本文提出了采用基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法对矩阵A’重新进行因子化。
在因子表分解过程中，当因子表中的某个元素发生变化时，仅影响因子表中第m 行、m 列以下子矩阵中部分行/列, 基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法[3]充分利用了这一特点，避免了大量的不必要计算，从而节省了计算量，使程序的执行效率有了显著的提高。例如，在如图1所示的系统中，当因子表中第8行的某一元素发生变化时，矩阵中受到影响的行/列集合如图4中的阴影部分所示。根据稀疏向量法的概念，当稀疏矩阵A的部分元素发生变化时，可以利用因子表路径准确地按顺序确定稀疏矩阵A中需要修改的行/列集合，以避免不必要的计算步骤。
基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法简述如下：
（1）在矩阵A中确定需要修改的元素，并写成如下形式：
B为拟开断线路i-j的导纳值。
（2）根据稀疏向量法确定因子表路径。
（3）根据因子表路径，按照下述公式进行因子表部分重新因子化。
式中分别代表了对矩阵A’进行LDU分解后的对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵；分别代表对矩阵A进行LDU分解后的对角矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵。
2.4 快速前代/回代
利用N-1安全分析法对系统静态可靠性进行评估时，由于每次仅开断系统中的一条线路（包括发电机和负荷），所以在式(2)求解的过程中，可充分利用已知向量b的稀疏性，依据因子表路径树所确定的因子表路径，按照从叶节点到根节点的顺序进行前代运算。快速前代充分利用了已知向量b的稀疏性，避免了在前代过程中的一切不必要的计算步骤。因此，减少了计算量，缩短了计算时间。
快速回代是指在方程组的回代过程中，如果仅对向量X的部分元素感兴趣，可依据因子表路径树所确定的因子表路径，按照从根节点到叶节点的顺序进行回代运算。由于N-1安全分析法仅会对开断线路的相邻节点和某些重负荷线路的潮流产生较大的影响，所以，可以针对求解问题的不同要求利用快速回代技术缩小求解的规模，最终减少了计算量，提高了程序的执行效率。
3 结果分析
本文利用IEEE-118节点、IEEE-300节点2个系统对提出的算法进行验算，表1给出这2个系统的主要参数。
为了充分显示新型算法的快速性、有效性，本文将2种采用传统方法的静态安全分析程序与利用了推荐算法的静态安全分析程序对算例系统进行了验算。
方案1： 采用传统解法，基于潮流计算的结果，当线路i-j模拟开断时，先修改线路参数，然后对全网重新进行潮流计算。该方法原理简单，只需要对PQ法潮流计算程序作少量的修改，程序容易实现；但是这种方法需要对全网重新进行潮流计算，耗用的机时量大。
方案2： 采用简单部分重新因子化的方法，是对方案1的一种改进，当线路i-j模拟开断时（m=min（i，j）），只对因子表中第m 行和m 列以下的子阵进行重新因子化。该方案与方案1相比，计算量有了很大的减少，节省了许多机时。但是，在计算过程中，仍有部分计算是多余的，尤其是当元素i-j位于矩阵顶部时，无谓计算造成的时间损失更多。
方案3：采用稀疏向量法、基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代等稀疏技术的新型算法。当系统线路i-j开断时，对因子表中第m 行和m 列以下的子矩阵按因子表路径进行消去计算（如图4）。该方法与前2种传统的方法相比，充分利用了矩阵的稀疏性，有效地剔除了矩阵计算过程中的不必要计算，使计算量为最小。
以IEEE-118节点、IEEE-300节点为算例，程序运算时间如图5所示：
采用推荐算法的方案3对IEEE-118系统进行静态安全评估时，计算时间比方案1缩短了40%，比方案2缩短了21%；对IEEE-300系统进行静态安全评估时，计算时间比方案1缩短了62.2%，比方案2缩短了32%。需要补充说明的是，算法的执行效率与节点排序有密切的关系。
4 结论
本文提出的静态安全分析算法通过采用稀疏向量法，基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法、快速前代等稀疏向量技术，能够在求解电力系统网络方程的过程中充分利用系数矩阵的稀疏性，消除不必要计算。
该算法的优点是：
（1）利用了稀疏向量法，并通过利用因子表路径树快速确定方程组求解过程中（主要是前代和回代过程中）必须参与计算的矩阵行/列的集合。
（2）利用了基于因子表路径树的矩阵部分重新因子化法，依据该方法对矩阵中拟进行修改的行/列的消去顺序与原矩阵的消去顺序无关的特点，并利用稀疏向量法中的因子表路径（简称路径），按顺序对只有与路径相关节点的因子表中的行/列进行修改。
（3）利用了快速前/回代技术，其中，快速前代充分利用了方程组右端项的稀疏性，消除了方程组求解过程中的不必要计算步骤；快速回代通过利用稀疏向量法中因子表路径，快速求解感兴趣节点的状态变量。
通过算例的验算分析表明：本文所提出的算法能够显著地提高静态安全分析程序的计算效率，缩短计算时间。
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