设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a^2+c^2=根号3ac+b^2,求B的大小和cosA+sinC的取值范围 急

Question

如题所述

Answer 1

由b^2=a^2+c^2-2accosB
知cosB=√3/2 B=30°
A=180°-30°-C=150°-C
0<A<150° 30°<C-30°<120°
cosA+sinC=cos(150°-C)+sinC
=sinC+sin(C-60°)
=sin(C-30°)
可见 1/2≤cosA+sinC≤1

Answer 2

cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=√3/2
∴B=30°
cosA+sinC=cosA+cos(A-60°)=3cosA/2+√3sinA/2=√3(√3cosA/2+sinA/2)
=√3cos(A-30°)
A-30°∈(-30°，120°)
∴cos(A-30°)∈(-1/2，1]
∴cosA+sinC∈(-√3/2，√3]

Answer 3

a^2+c^2=√3ac+b^2
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=√3/2
B=π/3
cosA+sinC=sinC-cos(B+C)=sinC-cosBcosC+sinBsinC=3sinC/2-√3cosC/2=(√12/2)sin(C-π/6)
-(√12/2) ≤ cosA+sinC ≤ (√12/2)

Answer 4

（1）∠B＝30°由cosB＝(a²＋c²－b²)／2ac ∵a²＋c²－b²＝√3 ×ac ∴cosB＝√3／2, ∴∠B＝30° ∵cosA＋sinC＝√3COS（A－30） ∵0°＜∠A＜150° ∴－√3／2＜cosA＋sinC＜3／2 .