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等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+√2,S3=9+3√2. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn (2)设bn=Sn/n(n∈N*),求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列

第1个回答 2019-10-08

1.S3=(a1+a3)*3/2=(a1+a1+2d)*3/2=2(a1+d)*3/2=2a2*3/2=3a2=9+3√2所以a2=3+√2d=a2-a1=2所以an=a1+2(n-1)=√2-1+2nSn=(a1+an)*n/2=(2√2+2n)*n/2=n^2+√2n
2.bn
=
Sn/n
=
n+√2
用反证法证明
假设bn中有不同的三项成等比数列,分别是第p,q,r
则
bp
*
br
=
bq
*
bq
即
(p+√2)(r+√2)
=
(q+√2)(q+√2)
pr
+
2
+
(p+r)√2
=
q*q
+
2
+
2q*√2
因为p,q,r都是正整数,而√2是无理数
所以有
pr
=
q*q
p
+
r
=
2q
消去q
,得
(p-r)^2
=
0
解得
p
=
r
这与假设矛盾
所以任意不同的三项都不可能成为等比数列

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