第3个回答 2011-04-03
数学建模优秀论文:抑制房地产泡沫问题
摘要：住房是人类的基本需求，在中国经济发展的现阶段，住房问题已成为百姓关注的“头等大事”。如果说，中国现阶段的主要矛盾是落后的社会生产力同人民群众日益增长的物质文化需求之间的矛盾，那么，住房就是这一主要矛盾中的重点。
本文就通过房地产这一问题对城市房价作了深入的分析和科学的探讨。我们对城市房价构建数学模型。首先，在只考虑成本的情况下，得出了地价与房价之间的线性关系；接着，我们借助了“蛛网模型”的思想，在同时考虑成本、市场供求的情况下，建立了需求函数、供应函数、供需平衡方程来分析市场供求对价格的影响，并考虑现实生活中，本周期的供应量与地产商对本期的预测房价有关；最后得出房价的表达式。
通过对城市房价模型的分析和求解，更深入了解了房价的形成因素及复杂的演化机理，从而针对性地提出解决房地产泡沫的有效政策和建议，并对所提政策和建议作出科学的预测和评价，为城市居民的住房问题提供诸多便利。
一 问题的重述
近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：
1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析；
2．通过分析找出影响房价的主要因素；
3．给出抑制房地产价格的政策建议；
4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。
二 问题的分析
住房是居民的基本生活需求。在全面建设小康社会阶段，随着经济社会的发展和人民生活水平的提高，城镇住房的增量需求和改善需求双旺盛，是房地产业持续发展的动力。供不应求是未来几十年中国房地产市场的主导趋势。
本题要求我们建立一个城市房价的数学模型，通过分析模型，找出影响房价的主要因素，并给出抑制房价的政策建议，最后对建议可能产生的效果进行科学预测和评价。
看到价格房价这个关键词，我们就想起了微观经济学里著名蛛网模型（见附录）。
蛛网模型简介：
1．生产具有长周期的动态模型，特点是：本期产量决定本期价格；而本期价格决定下期产量。
2．三种形式：A、封闭式（需求曲线和供给曲线斜率一样）；B、收敛式（需求曲线比供给曲线斜率大）；C、发散式（需求曲线比供给曲线斜率小）。
房地产产品开发周期长，形成有效供给相对于投资期具有滞后性，当年的房地产业市场是投资与需求矛盾双方以往多年相互作用积累、演变的结果[1]。所以，城市房价的模型可以借鉴蛛网模型的思想。
然而，影响房价的因素除了有供求变化外，还包括成本（地价、建安造价和各种税费）、城市人口平均收入、城市人口就业率、政策等。
在建立模型时不可能也没必要考虑所有因素，只能抓主要的、关键的因素进行合理的假设。我们都知道，影响房价的最直接的因素是：生产成本和市场供求变化。这也符合商品经济的基本规律。
三 模型的基本假设
1．房地产产品具有一定的生产周期
2．房价的计算只考虑生产成本和市场供求
3．理想房价是仅基于成本得到的房价，不考虑供求
4．成本的花费包括地价（地面地价）、建安造价和各种税收；且每一个周期的地价、建安造价和税费率都维持不变
5．容积率在每个周期维持不变
6．需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多
7．供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少
8．楼面地价又称单位建筑面积地价，是平均到每单位建筑面积上的土地价格，所对应的是地面地价。楼面地价＝土地总价÷总建筑面积＝地面地价÷容积率[3]
9．理想房价=(楼面地价+建安造价) ×(1+税费率)[3]
10．供需平衡指：供应量=需求量
四 符号说明
：房价(元/平方米建筑面积)
：理想房价（元/平方米建筑面积）
：第n个周期的房价
：第n个周期的预测房价
： 需求曲线和供应曲线的交点处的房价
： 地价（元/平方米土地面积）
： 建安造价（元/平方米建筑面积）
： 楼面地价（元/平方米建筑面积）
： 税费率（%）（包括管理费、销售费用、利息、税费及合理利润）
： 容积率（%）
： 第n个周期，居民对房子的需求量
： 第n个周期，地产商的供应量
其中n=1,2,3,……
五 模型的建立和求解
模型的建立
由上面的假设可以得到一个这样的价格系统。如下图
看图可知，成本决定理想价格；理想价格和房价决定需求量；理想价格和地产商的预测价格决定供应量；需求量和供应量又共同决定房价。
求理想房价 。
首先，将地价A 转化为楼面地价C，其公式为：
①
其次，根据理想房价的求法得出其表达式：
②
最后，将公式（1）代入公式（2），整理可得：
③
令 , ， 和 为不为正常数，则可得：
④
从公式③和④中，可以看出：
第一， 地价与理想房价之间为线性正相关关系；
第二， 地价与理想房价之间影响的程度因建安成本、税费率和容积率的不同而不 同；
第三，从某种角度上讲，理想房价就是成本费用的体现；根据假设4中，成本不变，所以理想房价也维持不变。
将理想房价引入供求系统。
一． 需求函数
根据假设6：需求量受到本周期的实际房价和理想房价的影响。实际价格与理想价格的比值越大，需求量越少；反之，实际价格与理想价格的比值越小，需求量越多。
证明假设的合理性：
取极限法，实际价格与理想价格的比值为无穷大，那么实际的价格就是无穷大，就没有人需要，因为都买不起；反之，比值为0，白送的房子你不要吗？需求量自然就大。所以，我们的假设是合理的。
需求方程：
其中 和 为正常数， 为理想价格，需求函数斜率为 。
二． 供应函数
根据假设7：供应量受到地产商预测的本周期的房价和理想房价的影响。预测价格与理想价格的比值越大，供应量越多；反之，预测价格与理想价格的比值越小，供应量越少。
证明假设的合理性：
因为房屋的供应量由地产商所决定的，地产商在决定提供多少房屋之前，首先关心的是自己是否能够盈利，能够盈利多少，因此，地产商总会根据前几周期的价格预测下一周期的价格，再将预测的价格与成本（理想价格）比较，最终确定供应数量。所以，假设合理。
地产商的预测和比较方法各异，为了简化起见，采用如下预测和比较方法：
预测价格为：
表明：本期的价格是上一期的实际价格加上一个修正量， 为修正系数[5]。
比较方法：预测价格与成本（理想价格）的比值越大，利润越高，供应量越大。
则供应量为：
其中 和 是正常数， 为理想价格，供应函数斜率为近似为 。
三． 供需平衡方程：
即
整理后得到
模型的求解
先求出方程的特解：
设方程的一个特解为 ，将其带入方程后得到等式
解得：
再求通解：
齐次方程：
特征方程：
即
显然， 为其中的一个解。
约去 公因子得：
如果令：
则解得 和 为：
线性差分方程稳定的条件：方程的特征根均在单位圆内。
即 ， 时，则 为稳定点，即 ， ， ……趋于 ；否则渐渐远离 。
解得方程的解的一般形式为：
其中 和 两个任意常数，由具体情况决定。将 ， 带入得
分析：
由以上得到的房价的表达式：
可以得出如下结论：
第一． 成本与房价之间为正相关关系。成本越多，房价越高，反之依然；
第二． 供求变化对房价的波动与蛛网模型的结论一样，也有三种形式（见附录）；
第三． 地产商对价格的预测影响着价格。
六 解答问题
问题二 通过分析找出影响房价的主要因素
对于该问题的解答，正是对我们模型的检验。我们的解答方法：首先列出影响城市房价的主要因素，紧接着用我们搜集的资料证明我们的结果。
影响城市房价的主要因素：
(1)成本（地价、建安造价和各种税费）
具体体现：
①地价。国家发展和改革委员会、国家统计局发布的调查报告显示，2004年第一季度35个大中城市有7个城市土地交易价格涨幅超过10个百分点，有9个城市房价涨幅超过10个百分点。其中上海、沈阳、杭州、宁波、天津等五个城市地价与房价双双上涨。第二季度，全国有8个城市土地交易价格涨幅超过10%，有6个城市房屋销售价格涨幅超过10个百分点。可见，地价上涨是当前房价上涨中的重要因素[4]。
②建安造价。地价的上涨和新建住宅品质的提升有关。譬如，建筑材料价格上涨，房价必会有所提高；新建住宅品质（建筑材料品质，户型及配套设施，小区环境的优化等）提升亦会导致房价的上涨。
③税费率。税费率的变动也会影响房价。
(2)供求变化
从本质上看，一般商品的价值是价格的货币表现，一般商品的价格波动反映市场供需平衡，既是市场机制作用的起点，又是市场机制作用的结果，价格总是围绕价值上下波动。在正常的市场条件下，价格上涨、供给增大，投资者预期价格下降。目前，房地产市场上存在着供求不平衡现象，中低价位商品住房供应量下降，使得中低价房供不应求，高档商品住房供应量增加，导致了商品房平均价格上涨[4]。
问题三 给出抑制房地产价格的政策建议
对于该问题，我们结合问题二的结果进行解答。
我们针对成本和供求及在网上搜索的资料提出以下政策建议：
1．强化土地资源管理
通过土地资源供应量的调整，控制商品房价格的不合理上涨。要根据住房市场的需求，保持土地的合理供应量和各类用地的供应比例，实行土地出让公开招投标制度，控制一些城市过高的地价。要坚决制止高档住宅的盲目开发和大规模建设，防止出现新的积压。对于发生在房地产领域违法犯纪行为要严厉惩处，严惩无正当理由闲置土地的“圈地人”以及房地产领域的违法活动[4]。
2．明租、正税、清费，降低房地产开发成本
针对房地产开发成本中存在不合理的因素，明租主要是推行土地年租制，由于土地缴纳的只是一年的租金，土地中蕴含的价值并不大，开发商依靠土地抵押贷款开发项目的盈利模式将彻底消除；正税主要是征收物业税，保有环节的税收将在一定程度上抑制过渡的投资；清费主要是清除不合理的费用，本着谁投资，谁受益的原则，清晰产权，合理地降低房地产开发成本[6]。
3．优化与改善供应结构
房价的上涨的原因之一就是：中低价位商品住房供应量下降，使得中低价房供不应求，高档商品住房供应量增加，导致了商品房平均价格上涨。所以要加大中低价房供应以平抑房价。
4．建立全国统一的房地产市场运行预警预报制度，加强和完善宏观监测体系。对全国房地产市场通过信息的及时归集、整理和分析，就市场运行情况做出评价和预测，定期发布市场分析报告，合理引导市场，为政府宏观决策做好参谋。近年来，我国房地产业持续以较快的速度增长，吸引了大量的企业进行房地产投资，应当引起注意，要加快建立和完善房地产业的宏观监测体系，通过土地供应、税收和改善预售管理等手段及时进行必要的干预和调控，有效地防止房地产业“泡沫”的产生[4]。
问题四 对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价
通过建立模型并对模型的机理进行了深入地剖析之后，我们有效地掌握了解决房地产泡沫问题即抑制房价上涨的理论与科学的方法。现在就针对提出的上述几种政策和建议给予相关的预测和作出较科学的评价。
首先强调了对于土地资源的有效管理。通过对土地资源供应量的合理调整，将在很大程度上控制房价的过快上升。因为合理的土地资源供应量及各类用地的供应比例，理论上不会引起土地价格的大幅度上涨，根据所建模型得出来的结论，可以科学地预测房价也将会有所控制，房价的过度上涨也将会被有效地遏制。
现今阶段，房地产市场结构的不平衡现象主要体现在中低档商品住房供应量的减少和高档商品住房供应量的增加，因此针对这一主要矛盾，我们建议政府应大规模推出经济适用房来抑制商品房价格。通过大规模建设经济适用房，将会给众多中低收入家庭的买房问题减轻很大负担，还可以很好地调整房地产市场的供应量，它不再偏向高档的商品住房，减少了用地的囤积量，并满足了绝大多数居民的基本需求。具体从模型上可得出理想的趋势，即随着房地产市场供应量的逐步改善，房地产价格的波动幅度将愈来愈小，最终回复到均衡状态。
除了以上必要的发展趋势外，政府还应通过一些有效的宏观调控来制约房地产市场的种种变动。譬如建立全国统一的房地产市场运行预警预报制度，对房地产市场的信息作出及时的收集和考察，以便采取更有力的运行措施，来很好地优化市场运行制度。再者，通过整顿住房金融市场秩序，规范住房金融业务，可以有效地防范住房贷款风险，从而避免金融风险，为社会金融制度提供保障。政府还应进行一些税费调整，这样的话将会强有力地抑制房价的上升，从而鼓励更多普通住房的消费。此外，通过舆论宣传的引导，扭转广大消费者的错误理念，避免“随波逐流”，通过咨询专家，根据自身情况作出正确的决断，将有助于房地产市场的运行有序。
七 模型的改进
我们这个模型，对成本的假设是静态的，成本不随时间变化而变化。这种假设只是为了解题的方便，模型进一步完善就要把成本动态化，更接近与实际，得到的房价也更具有说服力。
建模的时候，忽略了政府的宏观调控对价格的影响，事实上，在我国，政府的政策对价格的影响是很大的，所以，模型的改进也要考虑政策的影响。
总结：模型的改进就是考虑周期成本和政府政策。
八 模型的推广（略）
九 模型的评价（略）
参考文献（略）