求解一道高数难题

Question

如题所述

Answer 1

解：
分析：运用分离变量的方法！
不失一般性，令：
y' = f(x)，
于是：
y'' = df(x)/dx
上式包含dx的微分变量，而原式中只含有y，因此，再变形：
y''
= df(x)/dx
= (df(x)/dy)·(dy/dx)
=(df(x)/dy)·f(x)
将上式带入到原方程中：
y³·(df(x)/dy)·f(x) - 1 =0
当y=0时，原方程显然不成立，即：y≠0，于是：
f(x)df(x) = dy/y³
该微分形式两边积分，则：
f(x)² = -1/y² + C'，其中C'为常数
因此：
y' = f(x) = ±√(-1/y² + C')
即：
±dy/√(-1/y² + C') = dx
±ydy/√(C'y² -1) = dx
±d(C'y² -1)/√(C'y² -1) = 2C'dx
两边积分：
±√(C'y² -1)=C'x+C
因此：
C'y² -1 = (C'x+C)²
原微分方程的通解为：
C'y² - (C'x+C)² = 1
其中，C，C’为常数