是1,1,2,3,5,8,13吧。而它是著名的
斐波那契数列。这个数列是不能用高中方法解其前N项和的问题的,建议你学习些大学数学的相关内容。
斐波那契数列
斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的
兔子问题: 一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子? 我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下: 第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对; 两个月后,生下一对小兔总数共有两对; 三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对; …… 依次类推可以列出下表: 经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
幼仔
对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
成兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
总体对数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
表中数字1,1,2,3,5,8---构成了一个序列。这个数列有关十分明显的特点,那是:前面相邻两项之和,构成了后一项。
这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在《算盘书》中提出的,这个级数的
通项公式,除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外,还可以证明通项公式为:an=1/√5 [(1/2+√5/2)^ n-(1/2-√5/2)^n-(1/2-√5/2)^ n] (n=1,2,3.....)(√5表示根号 5) 这个通项公式中虽然所有的an都是
正整数,可是它们却是由一 些无理数表示出来的。 即在较高的序列,两个连续的“
斐波纳契数”的序列相互分割 将接近
黄金比例(1.618:1或1:0.618)。 例如:233/144,987/610、、、、
斐波那契数列还有两个有趣的性质
1.斐波那契数列中任一项的
平方数都等于 兔子问题
跟它相邻的前后两项的乘积加1或减1; 2.任取相邻的四个斐波那契数,中间两数之积(
内积)与两边两数之积(外积)相差1. 同样我们还可以有t阶斐波那契数列,通过递推数列a(n+t)=a(n+t-1)+a(n+t-2)+...+a(n),其中a(1)=a(2)=1,以及对于3-t<=n<=0,有a(n)=0. 给出了t阶斐波那契数列的通项公式: [r^(n-1)(r-1)/((t+1)r-2t)], 其中r是方程x^{t+1}-2x^t+1=0的唯一一个大于1的正数根(可以看出r非常接近2)