e的-x^2方的定积分怎么算？

Question

如题所述

Answer 1

设积分域为 x ∈(-∞,+∞)

令：F = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx

同样 F= (-∞,+∞)∫e^(-y²)dy

由于x,y是互不相关的的积分变量,因此：

F² = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx * (-∞,+∞)∫e^(-y²)dy

= [D]∫∫e^(-x²)*dx * e^(-y²)*dy

= [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy

式中积分域D = {(x,y)|x ∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞)}

对x,y进行极坐标变换,则:

x²+y² = ρ²；dxdy = ρ*dρ*dθ

F² = [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy

= [0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-ρ²) ρ*dρ*dθ

= [0,2π]∫dθ *(0,+∞)∫e^(-ρ²) ρ*dρ

= 2π* 1/2*[0,+∞)*∫e^(-ρ²) *dρ²

= π

因此 F = (-∞,+∞)∫e^(-x²)dx = √π

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

定积分定义：设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式  。

该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为  ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。

其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。

之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法：

特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为：

参考资料：百度百科---定积分

Answer 2

解：
设积分域为 x ∈(-∞，+∞)
令： F = (-∞，+∞)∫e^(-x²)dx
同样 F= (-∞，+∞)∫e^(-y²)dy
由于x,y是互不相关的的积分变量，因此：
F² = (-∞，+∞)∫e^(-x²)dx * (-∞，+∞)∫e^(-y²)dy
= [D]∫∫e^(-x²)*dx * e^(-y²)*dy
= [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy
式中积分域D = {(x,y)|x ∈(-∞，+∞),y∈(-∞，+∞)}
对x，y进行极坐标变换，则:
x²+y² = ρ²；dxdy = ρ*dρ*dθ
F² = [D]∫∫e^[-(x²+y²)]*dx *dy
= [0,+∞)[0,2π]∫∫e^(-ρ²) ρ*dρ*dθ
= [0,2π]∫dθ *(0,+∞)∫e^(-ρ²) ρ*dρ
= 2π* 1/2*[0,+∞)*∫e^(-ρ²) *dρ²
= π
因此 F = (-∞，+∞)∫e^(-x²)dx = √π本回答被网友采纳

Answer 3

如图所示

Answer 4

Answer 5

啊，这个计算方法的话，我稍后计算出来了，我就发给你。