高中数学在线等 已知椭圆C：x^2/m^2+y^2/n^2=1的离心率为根号3/2，且经过P（根号3/2，1）

Question

1）求椭圆的方程
2）设直线L:y=kx+t交椭圆C与A,B两点,D为AB的中点，KOD为OD 的斜率，求证K乘以KOD为定植。
3）在2）的条件下，当t=1时候，若OA向量与OB向量为锐角，试求K取值范围

Answer 1

（1）代入点（3/2，1），得9/(4m^2)+1/(n^2)=1
离心率e=根号(m^2-n^2)/m=根号(3)/2，当m＞n；或e=根号(n^2-m^2)/n=根号(3)/2，当m＜n
由此可解得
m^2=25/4，n^2=25/16；或m^2=5/2，n^2=10，
所以椭圆方程为
C1：(x^2)/(25/4)+(y^2)/(25/16)=1，
或C2：(x^2)/(5/2)+(y^2)/10=1。
（2）设A、B的坐标分别为（x(1)，y(1)）、（x(2)，y(2)），
则D的坐标为（[x(1)+x(2)]/2，[y(1)+y(2)]/2）
由椭圆方程C1（或C2）与直线方程L分别消去y、x可得一个一元二次方程，即
由C1与L得：
关于x的方程[16(k^2)+4](x^2)+32ktx+[16(t^2)-25]=0……①
关于y的方程[16(k^2)+4](y^2)-8ty+[4(t^2)-25(k^2)]=0……②
由C2与L得：
关于x的方程[(k^2)+4](x^2)+2ktx+[(t^2)-10]=0……③
关于y的方程[(k^2)+4](y^2)-8ty+[4(t^2)-10(k^2)]=0……④
根据题意，以上方程均有两个实数解，此时，由韦达定理可得
①x(1)+x(2)=-32kt/[16(k^2)+4]=-8kt/[4(k^2)+1]
②y(1)+y(2)=8t/[16(k^2)+4]=t/[4(k^2)+1]
③x(1)+x(2)=-2kt/[(k^2)+4]
④y(1)+y(2)=8t/[(k^2)+4]
即点D的坐标为（-4kt/[4(k^2)+1]，(t/2)/[4(k^2)+1]）或（-kt/[(k^2)+4]，4t/[(k^2)+4]）
所以K(OD)=(t/2)/(-4kt)=-1/(8k)或K(OD)=-4/k
所以K·K(OD)=-1/8或-4，为定值。
（3）当t=1时，所求即K(OA)与K(OB)的夹角为锐角，
此时可以根据夹角公式来求吧，抱歉，不会了