关于复变函数与积分变换

Question

如题所述

Answer 1

Answer 2

复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念：zxiy，x,y是实数,
xRez,yImz.i21.
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示 1

）模：z

2）幅角：在z0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。 3）argz与arctany之间的关系如下：
x
y
； x
yxyx
当x0,
argzarctan

y0,argzarctan
当x0,
y0,argzarctan
；
4）三角表示：zzcosisin，其中argz；注：中间一定是“+”号。
5）指数表示：z (二) 复数的运算
1.加减法：若z1x1iy1,z2x2iy2，则z1z2x1x2iy1y2 2.乘除法：
1）若z1x1iy1,z2x2iy2，则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2；
zei，其中argz。
z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1
i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2
z1ei1,z2z2ei2,
。
2）若z1
则追答

z1z2z1z2e1
i2
；z1
z2

z1z2
e1
i2
3.乘幂与方根 1） 若z2） 若z
1n
z(cosisin)zei，则znz(cosnisinn)zein
n
n。
z(cosisin)zei，则

2k2k
zcosisin
nn
(k0,1,2n1)（有n个相异的值）
（三）复变函数
1．复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2．复初等函数
1）指数函数：ezexcosyisiny，在z平面处处可导，处处解析；且ezez。
注：ez是以2i为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3） 对数函数：
Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)（多值函数）；
主值：lnzlnziargz。（单值函数）
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处
解析，且lnz1；
z
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同）
3）乘幂与幂函数：a
b
ebLna(a0)
；z
b
ebLnz
(z0)
注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zbbzb1。
eizeizeizeizsinzcosz
,cosz,tgz,ctgz4）三角函数：sinz 2i2coszsinz
sinz,cosz在z平面内解析，且sinzcosz,coszsinz

注：有界性sinz1,cosz1不再成立；（与实函数不同）
4） 双曲函数
shz
ezezezezshz,chz
22
；
平面内解析，且
奇函数，chz是偶函数。在sh,zchzz
shzc,hzchz
。 shz
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：
fz0=lim
fz0zfz0
z
z0
；
2）区域可导： fz在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： fz在z0及其z0的邻域内可导，称fz在z0点解析； 2）区域解析： fz在区域内每一点解析，称fz在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为fz的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：fzux,yivx,y在zxiy可导
ux,y
和vx,y在x,y可微，且在x,y 处满足CD条件：
uv
 yx
uv
,xy
此时， 有fzuiv。
x
x
2．函数解析的充要条件：fzux,yivx,y在区域内解析

ux,y
和vx,y在x,y在
uv； yx
D
内可微，且满足
CD
条件：
uv
,xy
此时fzuiv。
x
x
注意： 若ux,y,vx,y在区域D具有一阶连续偏导数，则ux,y,vx,y
在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足CR条件时，函数f(z)uiv一定是可导或解析的。
3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1） 2）利用充要条件 （函数以fzux,yivx,y形式给出，如第二章习题2）
3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数fz是以z的形式给出，如第二章习题3）
（六）复变函数积分的概念与性质
1． 复变函数积分的概念：cfzdzlim fkzk，c是光滑曲线。n
k1
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1） 2）
n
fzdz
cc
c
1
fzdz （c1与c的方向相反）；
c
c
[fzgz]dzfzdzgzdz,,是常数；
1
2
3） 若曲线c由c1与c2连接而成，则cfzdzcfzdzcfzdz。

3．复变函数积分的一般计算法
1）化为线积分：cfzdzcudxvdyicvdxudy；（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c：
zzt(t)，其中对应曲线c的起
点，对应曲线c的终点，则 cfz
dz


[f)。t dtz]t(z
（七）关于复变函数积分的重要定理与结论
1．柯西—古萨基本定理：设fz在单连域B内解析，c为B内任一闭曲线，则
fzdz0
c
2．复合闭路定理： 设fz在多连域D内解析，c为D内任意一条简单闭曲线，c1,c2,cn是c内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以c1,c2,cn为边界的区域全含于D内，则
fzdz, 其中c与ck均取正向； ① fzdzk1
c
ckn
1
② fzdz0，其中由c及c(k1,2,n)所组成的复合闭路。

3．闭路变形原理 ： 一个在区域D内的解析函数fz沿闭曲线c的积分，不因c在D内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c不经过使fz不解析的奇点。
4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设fz在单连域B内解析，Gz
为fz在B内的一个原函数，则z
z2
1
fzdzGz2Gz1
(z1,z2B)
说明：解析函数fz沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。
5。 柯西积分公式：设fz在区域D内解析，c为D内任一正向简单闭曲线，c的内部完全属于
4
D
，z0为c内任意一点，则

zz2ifz
c
fz
6．高阶导数公式：解析函数fz的导数仍为解析函数，它的n阶导数为
fz2i
 c(zz)n1n!
f
n
z0
(n1,2)
其中c为fz的解析区域D内围绕z0的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D。 7．重要结论：
2i,1
dzn1(za)0,c
n0n0
。 （c是包含a的任意正向简单闭曲
线）
8．复变函数积分的计算方法
1）若fz在区域D内处处不解析，用一般积分法
fzdz
c

f[zt]ztdt
2）设fz在区域D内解析，
 c是D内一条正向简单闭曲线，则由柯西—古萨定理，cfzdz0  c是D内的一条非闭曲线，z1,z2对应曲线c的起点和终点，则有
z2z1

c
fzdz
fzdzFz2Fz1
3）设fz在区域D内不解析 
fz
2ifz0czz0
曲线c内仅有一个奇点：（f(z)在c内解析） 
fz2ifnz
0c(zz)n1n!0
n
 曲线c内有多于一个奇点：fzdz（ci内只有一个奇fzdz
c
k1ck

点zk）
或：fzdz2iRes[f(z),zk]（留数基本定理）
c
k1n
 若被积函数不能表示成算。
fz(zzo)n1
，则须改用第五章留数定理来计
（八）解析函数与调和函数的关系
1．调和函数的概念：若二元实函数(x,y)在D内有二阶连续偏导数
22
且满足220，
xy
(x,y)为D内的调和函数。
2．解析函数与调和函数的关系
 解析函数fzuiv的实部u与虚部v都是调和函数，并称虚部v
为实部u的共轭调和函数。
 两个调和函数u与v构成的函数f(z)uiv不一定是解析函数；但是若u,v如果满足柯西—
黎曼方程，则uiv一定是解析函数。
3．已知解析函数fz的实部或虚部，求解析函数fzuiv的方法。 1）偏微分法：若已知实部uux,y，利用CR条件，得v,v；
xy
对vu两边积分，得vugx （*）
y
x
x
再对（*）式两边对x求偏导，得v
x
u
dygx xx
（**）
gx；
由CR条件，uv，得u
y
x
y
u
gx，可求出 
xx

代入（*）式，可求得 虚部vudygx 。
x
2）线积分法：若已知实部
dv
vvuu
dxdydxdy， xyyx
x,y
uu,xy，利用
CR
条件可得
故虚部为vx,yudxudyc；
y
x
由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中x0,y0与x,y 是解析区域中的两点。
3）不定积分法：若已知实部uux,y，根据解析函数的导数公式和CR条件得知，
fz
uvuu
ii xyxy
将此式右端表示成z的函数Uz，由于fz仍为解析函数，故
fzUzdzc （c为实常数） 注：若已知虚部v也可用类似方法求出实部u. （九）复数项级数 1．复数列的极限
1）复数列{n}{anibn}（n1,2）收敛于复数abi的充要条件为
limana,
n
limbnb
n
（同时成立）
2）复数列{n}收敛实数列{an},{bn}同时收敛。 2．复数项级数
1）复数项级数n(nanibn)收敛的充要条件是级数an与bn同
n0
n0
n0



时收敛；
n0。 2）级数收敛的必要条件是lim
n

追问

可以帮我做下这张卷子吗

还在吗？