函数f(x)=arctanx+arctan（1-x）/（1+x）在定义域内是否能为常数？清说明理由！急急急！！！

Question

函数f(x)=arctanx+arctan（1-x）/（1+x）在定义域内是否能为常数？清说明理由

Answer 1

不能这样说，因为这个函数的值域为｛-3π/4，π/4｝.只能说这个函数在某个区间上是常数，理由如下：

所以，x<-1时，f(x)=-3π/4

　　当x>-1时，f(x)=π/4

  即　f(x)为分段函数

Answer 2

如果u1=arctanx，那么u1∈(-π/2，π/2)
所以x=tanu1

(1-x)/(1+x)=(1-tanu1)/(1+tanu1)=tan(π/4-u1)
因为π/4-u1∈(-π/4,3π/4)

所以

若π/4-u1∈(-π/4,π/2)，此时π/4-u1是(1-x)/(1+x)的主值区间
即u1∈(-π/4，π/2)
x∈(-1,+∞)时，
arctan(1-x)/(1+x)=π/4-u1

所以arctanx+arctan(1-x)/(1+x)=u1+π/4-u1=π/4

若π/4-u1∈(π/2,3π/4)，此时π/4-u1不是(1-x)/(1+x)的主值区间
u1∈(-π/2，-π/4)
即x∈(-∞, -1)时，

(1-x)/(1+x)=tan(π/4-u1)=tan(π/4-u1-π)=tan(-3π/4-u1)
此时-3π/4-u1是(1-x)/(1+x)的主值区间
所以arctan(1-x)/(1+x)= -3π/4-u1
所以arctanx+arctan(1-x)/(1+x)=u1+(-3π/4-u1)= -3π/4

所以
arctanx+arctan(1-x)/(1+x)=π/4， x∈(-1,+∞)
-3π/4，x∈(-∞, -1)

这是一个阶跃函数，不是一个常函数。所以定义域内不是一个常数。本回答被网友采纳