一道数学题关于最大值

Question

如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是多少？

Answer 1

解：第一种方法：设A（a,0）,C（0，c）,B(m.n)，向量AC=（-a,c） BC=(-m，c-n) AB=(m-a，n) AC=4，所以 a^2+c^2=16 ① ， BC=2 所以m^2+n^2= 2cn-c^2+4 易知|n|>=|c|，所以nc=<(n^2+c^2)/2(当且仅当n=c时取等号) 又又①式知c=<4 即有 m^2+n^2= 2cn-c^2+4 =<n^2+c^2-c^2+4=n^2+4=20
所以点B到原点的最大距离是 2倍根号10
第二种方法：设A（a,0）,C（0，c）,B(m.n)，向量AC=（-a,c） BC=(-m，c-n) AB=(m-a，n) AC=4，所以 a^2+c^2=16 ① ， BC=2 因为∠C=90°
所以 向量AC 垂直向量 BC 则有（-a,c）*(-m，c-n)=0 化简得 c^2+am-cn=0 ②
易知△ABC为直角三角形 所以AC^2+BC^2=AB^2 则有16+4=（m-a）^2+n^2 化简得
m^2-2am+a^2+n^2=20 ③ 再联立①②③式得 m^2+n^2= am+cn+4 ④
再联立②④两式得 解：设A（a,0）,C（0，c）,B(m.n)，向量AC=（-a,c） BC=(-m，c-n) AB=(m-a，n) AC=4，所以 a^2+c^2=16 ① ， BC=2 因为∠C=90°
所以 向量AC 垂直向量 BC 则有（-a,c）*(-m，c-n)=0 化简得 c^2+am-cn=0 ②
易知△ABC为直角三角形 所以AC^2+BC^2=AB^2 则有16+4=（m-a）^2+n^2 化简得
m^2-2am+a^2+n^2=20 ③ 再联立①②③式得 m^2+n^2= am+cn+4 ④
再联立②④两式得 m^2+n^2= 2cn-c^2+4 易知|n|>=|c|，所以nc=<(n^2+c^2)/2(当且仅当n=c时取等号) 又又①式知c=<4 即有 m^2+n^2= 2cn-c^2+4 =<n^2+c^2-c^2+4=n^2+4=20
所以点B到原点的最大距离是 2倍根号10
同学，加油 若是觉得我的答案可以的话 就给我加分和给个好评吧 谢谢

Answer 2

设AC的中点为M，连接OM、BM，则在直角三角形AOC中，OM=AC/2=4/2=2 在直角三角形BCM中，由勾股定理可求得BM=2√2 当OMB构成一个三角形时，由任两边之和大于第三边，有OB<OM+MB=2+2√2 当OMB三点共线时，有OB=OM+MB=2+2√2 综上所述，当O、B及AC的中点三点共线时，点B到原点的距离取得最大值，最大值为2+2√2本回答被提问者采纳