怎样证明 sin X-cosX=√2（X-π/4)

Question

如题所述

Answer 1

你好：对于这种类型的题目，应用辅助角公式a*sin x+b*cos x=√(a^2+b^2)*sin(x+φ) (其中tan φ=b/a，并且有序实数对(a，b)确定φ终边所在象限，tan φ=b/a确定φ的值) 来解决。
下面给出辅助角公式的证明：令t=√(a^2+b^2)，则a*sin x+b*cos x= t[(a/t)*sin x+(b/t)*cos x]
设cos φ=a/t，sin φ=b/t ，根据cos αsin β+sin αcos β=sin(α+β)得，
t[(a/t)*sin x+(b/t)*cos x]=√(a^2+b^2)*sin(x+φ).
你的题目：sin x-cos x=√2sin(x+φ)， (1，-1)说明φ在第四象限；tan φ=-1，可以取φ=-π/4；
于是sin x-cos x=√2sin(x-π/4).

Answer 2

证： 令f(x)=sin(cosx)-x
（1）存在性
∵ f(0)=sin(1)>0,f(π/2)=-π/2<0
∴ f(0)(π/2)<0
∴ 存在实数x使得f(x)=0 即sin(cosx)=x有实数解
（2）唯一性
若f(x1)=f(x2)=0(x1,x2∈(0 π/2)）
不妨设x2>x1, ∴x1=sin(cosx1),x2=sin(cosx2)
∴sin(cosx1)>sin(cosx2)
∴cosx1>cosx2
∴x1>x2 与假设 矛盾， 所以x2=x1
综合上述：关于x的方程sin(cosx)=x在区间(0 π/2)内都存在唯一的实数解
同理可证对于另一方程结论也成立。

Answer 3

偷偷告诉你。从右边往左边化、、、
用基本公式sin(A-B)代入√2sin(X-π/4)本回答被提问者采纳

Answer 4

sinx-cosx=√2（sinx*√2/2-√2/2*cosx)=√2*(sinx*cosπ/4-sinπ/4*cosx)=√2*sinx(x-π/4),
就是应用了一个两角和差·的公式。会了吧！