如何用二项式定理展开n次方？

Question

如题所述

Answer 1

你给的例子是有条件的, 第1个有B^2=0, 第2个是B^3=0

一般情况下, 当A,B可交换时,即AB=BA时
(A+B)^n = C(n,0)A^n+C(n,1)A^(n-1)B+C(n,2)A^(n-2)B^2+...+C(n,n)B^n
也就是说, 当A,B可交换时 (A+B)^n 可用二项式公式展开

你给的例子中 3E 和 E 都可与B交换, 所以可以用二项式展开.

在求矩阵的n次方的时候, 这是一种解决方法
这样处理的前提是:
1.和号的两项可交换
2.其中一项的n次幂容易计算
3.另一项的低次幂等于0矩阵
满足这几个条件后,就能用二项式公式展开 (1保证), 且展开后非零项很少(3) 且容易计算(2).

例如: 求C的n次幂
C=
2 4
0 2
= 2E+B
其中 B =
0 4
0 0

因为 (2E)B = B(2E), B^2=0 --可交换, 低次幂为0
所以 C^n
= (2E+B)^n = (2E)^n+n(2E)^(n-1)B
= 2^nE+n2^(n-1)B
=
2^n 2n2^n
0 2^n