一元二次方程求值域的问题

Question

如题所述

Answer 1

ax²+bx+c=y 是一元二次方程的标准形式，a大于零的时候值域是开区间，a小于零的时候值域是闭区间。 a＞零 值域是在 x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a]之外 a小于零 值域是在x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a]之内。
用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要方法之一，它主要适用于分式型二次函数，或可通过换元法转化为二次函数的一些函数求值域问题 对于分式函数y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)：
由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，
把“求f(x)的值域”这问题可转化为“已知x的方程y=(ax^2+bx+c)/(x^2+mx+n)有实数解，求y的取值范围”把x当成未知量，y当成常量，化成一元二次方程，让这个方程有根．先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别式大于等于零了．
此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这个方程取分母这一步是不是同解变形。
这个问题进一步的等价转换是“已知x的方程y(x^2+mx+n)=ax^2+bx+c)到少有一个实数解使x^2+mx+n≠0，求y的取值范围”