反函数与原函数有啥关系？

Question

如题所述

Answer 1

原函数的导数等于反函数导数的倒数。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1<y2。因为f存在反函数f-1，所以有x1=f-1(y1)，x2=f-1(y2)，且x1、x2∈D。

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1<y2矛盾。

因此x1<x2，即当y1<y2时，有f-1(y1)<f-1(y2)。这就证明了反函数f-1也是严格单增的。

反函数存在定理：

定理：严格单调函数必定有严格单调的反函数，并且二者单调性相同。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1<x2时，有y1<y2，则称y=f(x)在D上严格单调递增；当x1<x2时，有y1>y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

以上内容参考：百度百科-反函数

Answer 2

举个简单的例子说明一下吧
y=sinx是原函数，则反函数为y=arcsinx
因为sin30°=0.5，所以arcsin0.5=30°=π/6
arcsinx就是求一个角，使得它的正弦值等于x
反函数应该注意几点：
1.原函数的值域等于反函数的定义域，比如y=sinx值域为[-1,1]，y=arcsinx的定义域就是[-1,1]
2.不单调的函数是没有反函数的，因为一个函数值可能对应几个不同的自变量
3.单调函数的反函数也是单调的，而且它们的单调性一致
4.原函数过（a，b）点，则反函数过（b，a）点，所以从图像上看，原函数与反函数的图像关于直线y=x对称

Answer 3

arcsin是根据正弦值求角度
sin是根据角度求正弦值
后面的也一样