通常情况下，原来代理诉讼程序的律师是没有为你在执行程序里写执行申请书的义务的，更没有代理执行程序的义务，这是两个程序。除非你们在前面的委托代理合同里有约定。
建议和原来的律师协商一下，适当支付一点费用（律师是靠收律师费活下去的，大多不拿工资），让原来的律师代为书写申请书，如果可能。
另外，不同的法院，对执行的要求也不尽相同。有的可能非常繁琐，比诉讼程序还要繁琐。找原审法官出具生效证明，复印送达回证，计算执行的标的额，违约利息，迟延履行的利息，执行费，提交申请人身份证明，如果有受托人，还要有委托手续，关系证明，如果是律师代理，还要有律师事务所函……然后立案、交费，一次、两次说不定立不了案……后期不停地跟踪，因为执行法官的电话是很难打进去的……特别是这段时间，受疫情的影响，很多法院是需要在微法院或者其他诉讼平台进行网上预约，然后根据预约的时间，去法院立案办手续。
整个过程，可以简单，也可以无比麻烦。而且能顺利执行的案件只是众多执行案件中的一部分。所以委托人往往对受托人不满。也就是说代理执行的律师，往往是个出力不讨好，不被理解的角色……
综上，你所面临的问题，是个问题，显然案件你胜诉了，原来的律师在诉讼程序里尽了力。所以请和原来的律师协商，帮个忙。但是一定要心存感恩。能代理执行的律师，要么是你花了很多律师费，要么是对你有真感情，真心愿意帮你的人！