问，已知4个质数的乘积是它和的11倍，则它们的和是？

Question

如题所述

Answer 1

解：
设4个质数分别为a、b、c、d
abcd=11(a+b+c+d)
要等式成立，abcd包含因子11，由轮换对称性，不妨令a=11
bcd=b+c+d+11
质数中除了2为偶数外，其余均为奇数。
若b、c、d均为奇数，等式左边为奇数，右边为偶数，等式不成立，因此b、c、d中有偶数。
又偶数中只有2是质数，因此b、c、d中至少有一个是2。由轮换对称性，不妨令b=2
2cd=c+d+11+2=c+d+13
等式左边为偶数，若c、d均为奇数，则c+d+13为奇数，等式不成立，因此c、d一奇一偶
又偶数中只有2是质数，因此c、d中有一个是2，由轮换对称性，不妨令c=2
4d=d+2+13
3d=15
d=5
综上，得a=11，b=2，c=2，d=5
a+b+c+d=11+2+2+5=20
这4个质数的和是20。
总结：
1、本题采用了分析法解题，且应用了轮换对称的数学思想，简化解题过程。
分析法是数学中一种常见的解题方法。轮换对称是一种重要的数学思想。在未知数地位相同的前提下，将值赋给某一指定未知数，可以简化计算。
2、解题思路：
采用层层扒皮的方式，先判定4个质数中有一个是11，其余均利用奇偶性得到。

Answer 2

设
4
个质数分别为：a、b、c、d，它们质数的乘积是它和的11倍，其中必有
1
个质数为
11
设：d
=
11，则：a
+
b
+
c
+
11
=
abc
若a、b、c全为奇数，则a
+
b
+
c
+
11
为偶数，abc为奇数，不合题意
设：c
=
2，则：abc
=
2ab
为偶数，此时
a
+
b
+
c
+
11
=
a
+
b
+
13
所以：a、b
必有一个是偶数
设：b
=
2，解得：a
=
5
它们分别是：2、2、5、11
它们的和是：20