第1个回答 2020-03-31
设总体为X,抽取n个i.i.d.的样本X1,X2,...,Xn,其样本均值为
Y
=
(X1+X2+...+Xn)/n
其样本方差为
S
=(
(Y-X1)^2
+
(Y-X2)^2
+
...
+
(Y-Xn)^2
)
/
(n-1)
为了记号方便,我们只看S的分子部分,设为A
则
E
A
=E(
n
*
Y^2
-
2
*
Y
*
(X1+X2+...+Xn)
+
(X1^2
+
X2^2
+...+
Xn^2))
=E(
(X1^2
+
X2^2
+...+
Xn^2)
-
n
*
Y^2
)
注意
EX1
=
EX2
=
...
=
EXn
=
EY
=
EX;
VarX1
=
VarX2
=
...
=
VarXn
=
VarX
=
E(X^2)
-
(EX)^2
VarY
=
VarX
/
n
(这条不是明显的,但是可以展开后很容易地证出来,而且也算是一个常识性的结论)
所以E
A
=
n(VarX
+
(EX)^2)
-
n
*
(VarY
+
(EY)^2)
=
n(VarX
+
(EX)^2)
-
n
*
(VarX/n
+
(EX)^2)
=
(n-1)
VarX
所以
E
S
=
VarX;得证。