圆锥曲线的所有定理 高中以上

Question

如题所述

Answer 1

圆锥曲线
圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线
1.
椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P|
|PF1|+|PF2|=2a,
(2a>|F1F2|)}。
2.
双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a,
(2a<|F1F2|)}。
3.
抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
4.
圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
·圆锥曲线由来：圆，椭圆，双曲线，抛物线同属于圆锥曲线。早在两千多年前，古希腊数学家对它们已经很熟悉了。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直与锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
·圆锥曲线的参数方程和直角坐标方程：
1）直线
参数方程：x=X+tcosθ
y=Y+tsinθ
(t为参数）
直角坐标：y=ax+b
2）圆
参数方程：x=X+rcosθ
y=Y+rsinθ
(θ为参数
)
直角坐标：x^2+y^2=r^2
(r
为半径）
3）椭圆
参数方程：x=X+acosθ
y=Y+bsinθ
(θ为参数
)
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2
+
y^2/b^2
=
1
4）双曲线
参数方程：x=X+asecθ
y=Y+btanθ
(θ为参数
)
直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2
-
y^2/b^2
=
1
(开口方向为x轴）
y^2/a^2
-
x^2/b^2
=
1
(开口方向为y轴）
5）抛物线
参数方程：x=2pt^2
y=2pt
(t为参数)
直角坐标：y=ax^2+bx+c
(开口方向为y轴,
a<>0
）
x=ay^2+by+c
（开口方向为x轴,
a<>0
)
圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e·cosθ)
其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。

Answer 2

1.
椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{p|
|pf1|+|pf2|=2a,
(2a>|f1f2|)}。
　　2.
双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{p|||pf1|-|pf2||=2a,
(2a<|f1f2|)}。
　　3.
抛物线：到一个定点和一条定直线的距离相等的动点轨迹叫做抛物线。
性质：1）椭圆
　　参数方程：x=acosθ
y=bsinθ
(θ为参数
)
　　直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2
+
y^2/b^2
=
1
　　2）双曲线
　　参数方程：x=asecθ
y=btanθ
(θ为参数
)
　　直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2
-
y^2/b^2
=
1
(开口方向为x轴）
y^2/a^2
-
x^2/b^2
=
1
(开口方向为y轴）
　　3）抛物线
　　参数方程：x=2pt^2
y=2pt
(t为参数)
　　直角坐标：y=ax^2+bx+c
(开口方向为y轴,
a<>0
）
x=ay^2+by+c
（开口方向为x轴,
a<>0
)
　　圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
　　ρ=ep/(1-e×cosθ)
　　其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
　　焦点到最近的准线的距离等于ex±a
　　圆锥曲线的焦半径（焦点在x轴上，f1
f2为左右焦点，p（x，y），长半轴长为a）
　　椭圆：椭圆上任一点和焦点的连线段的长称为焦半径。
　　|pf1|=a+ex
|pf2|=a-ex
　　双曲线：
　　p在左支，|pf1|=－a-ex
|pf2|=a-ex
　　p在右支，|pf1|=a+ex
|pf2|=－a+ex
　　p在下支，|pf1|=
－a-ey
|pf2|=a-ey
　　p在上支，|pf1|=
a+ey
|pf2|=－a+ey
　　圆锥曲线的切线方程：圆锥曲线上一点p（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2,以y0y代替y^2;以(x0+x)/2代替x,以(y0+y)/2代替y^2
　　即椭圆:x0x/a^2+y0y/b^2=1;双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线:y0y=p(x0+x)
　　圆锥曲线中求点的轨迹方程
　　在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形的变化过程，发现其内在联系，找出哪些是变化的量（或关系）、哪些是始终保持不变的量（或关系），那么我们就可以从找出的不变量（或关系）出发，打开解题思路，确定解题方法。