已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠

Question

已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．(1) 求证：BF∥AC；(2) 若AC边的中点为M，求证： ；(3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论． 图1 图2

Answer 1

证明：（1）如图6． ∵ 点B关于直线CH的对称点为D， CH⊥AB于点H， 直线DE交直线CH于点F， ∴ BF=DF，DH=BH． ∴ ∠1=∠2． 又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1， ∴ ∠A＝∠2． ∴ BF∥AC． （2）取FD的中点N，连结HM、HN. ∵ H是BD的中点，N是FD的中点， ∴ HN∥BF． 由（1）得BF∥AC， ∴ HN∥AC，即HN∥EM． ∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°， AC边的中点为M， ∴ ． ∴ ∠A＝∠3． ∴ ∠EDA=∠3． ∴ NE∥HM． ∴ 四边形ENHM是平行四边形． ∴ HN=EM． ∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N， ∴ ，即 ． ∴ ． （3）当AB=BC时，在未添加辅助线和其它字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE． （只猜想结论不给分） 证明：连结CD．（如图8） ∵ 点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H， ∴  BC=CD，∠ABC＝∠5． ∵  AB＝BC， ∴ ，  AB ＝CD ．① ∵ ∠EDA=∠A， ∴ ， AE=DE ．② ∴ ∠ABC＝∠6=∠5． ∵ ∠BDE是△ADE的外角， ∴ ． ∵ ， ∴ ∠A ＝∠4 ．③ 由①，②，③得 △ABE≌△DCE． ∴ BE= CE． 由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC． 由（1）中所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF． ∴ ∠CFE=∠ECF． ∴ EF=CE． ∴ BE=EF．             ∴ BE=EF=CE． （阅卷说明：在第3问中，若仅证出BE=EF或BE=CE只得2分）

略