如图:直线与椭圆X轴平行,求直线与椭圆任意相切点的XY座标计算公式

Question

如题所述

Answer 1

如果直线与椭圆平行于x轴，那么这条直线的方程可以表示为y=k，其中k是直线的截距。由于直线与椭圆相切，切点的坐标(x, y)必须同时满足直线方程和椭圆方程。
椭圆的标准方程是：
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
假设直线与椭圆相切于点P(x, y)，由于直线与椭圆平行，椭圆在点P的切线斜率等于直线的斜率k。椭圆的导数（即切线斜率）在点P的y坐标处为：
\[y' = -\frac{x}{a^2} \cdot \frac{1}{b^2} \cdot 2y\]
由于切线斜率等于直线斜率，我们有：
\[y' = \frac{dy}{dx} = k\]
将椭圆的导数设置为k，我们得到：
\[k = -\frac{x}{a^2} \cdot \frac{1}{b^2} \cdot 2y\]
解这个方程得到y的值：
\[y = -\frac{kb^2}{2a^2x}\]
将y的值代入椭圆方程，我们得到x的值：
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{k^2b^4}{4a^4x^2} = 1\]
解这个方程得到x的值：
\[x = \pm\frac{a^2\sqrt{1 + 4k^2b^4}}{2k^2b^2}\]
因此，切点的坐标为：
\[P\left(\pm\frac{a^2\sqrt{1 + 4k^2b^4}}{2k^2b^2}, -\frac{kb^2}{2a^2x}\right)\]
由于直线与椭圆相切，切点处的切线也是椭圆的切线，因此这个公式适用于任意相切点。注意，由于直线与椭圆平行，我们只考虑y坐标的变化，而x坐标的正负号取决于切点的位置。