请问1^4+2^4+3^4……+n^4的公式是多少？

Question

如题所述

Answer 1

公式就是n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30。分析基本如下所示：

首先(n+1)^5-1^5=5*(1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4)+10*(1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3)+10*(1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2)+5*(1+2+3+4+……+n)+n

因为1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2，1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6，1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2

所以1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4={[(n+1)^5-1^5]-10*[n(n+1)/2]^2-10*n(n+1)(2n+1)/6-5*n(n+1)/2-n}/5=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30。

这类题目通常按照一定的顺序给出一系列量，要求根据这些已知的量找出一般规律，而找出的规律通常包序列号，所以把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。

一般是先观察，有什么特点，然后依次排查几种常用的方法，比如差值，相邻的三项有什么运算关系，如果数变化剧烈，可以考虑平方、立方，还要熟悉常用的一些平方值和立方值。

Answer 2

1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30

证明：
(n+1)^5-n^5=5n^4+10n^3+10n^2+5n+1
n^5-(n-1)^5=5(n-1)^4+10(n-1)^3+10(n-1)^2+5(n-1)+1
……
2^5-1^5=5*1^4+10*1^3+10*1^2+5*1+1
全加起来
(n+1)^5-1^5=5*(1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4)+10*(1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3)+10*(1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2)+5*(1+2+3+4+……+n)+n
因为1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2
1^2+2^2+3^2+4^4+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1+2+3+4+……+n=n(n+1)/2
所以1^4+2^4+3^4+4^4+……+n^4
={[(n+1)^5-1^5]-10*[n(n+1)/2]^2-10*n(n+1)(2n+1)/6-5*n(n+1)/2-n}/5
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30
若有疑问可以百度Hi聊本回答被提问者采纳

Answer 3

一楼的最后一步怎么化简的啊？能详细点吗？