已知：x2+y2+z2=xy+yz+zx，求证:x=y=z。

Question

已知：x2+y2+z2=xy+yz+zx，求证:x=y=z。

Answer 1

证明：∵x²+y²+z²=xy+yz+zx
∴x²+y²+z²-xy-yz-zx=0
两边同时乘以2，得
2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx=0
即x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+x²-2zx+z²=0
∴(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²=0
∵(x-y)²≥0,(y-z)²≥0,(x-z)²≥0
∴(x-y)²=0,(y-z)²=0,(x-z)²=0
∴x-y=0,y-z=0,x-z=0
∴x=y,y=z,x=z
即x=y=z

Answer 2

x2+y2+z2=xy+yz+zx
即2x2+2y2+2z2=2xy+2yz+2zx
即2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx=0
即（X-Y）^2+(Y-Z)^2+(Z-X)^2=0
所以x=y=z

Answer 3

x2+y2+z2=xy+yz+zx
x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0
2x^2+y^2+z^2-2xy-2yz-2xz=0
(x-y)^2+(y-z)^2+(x-z)^2=0
因为(x-y)^2大于等于0，(y-z)^2大于等于0，(x-z)^2大于等于0
所以(x-y)^2==0，(y-z)^2=0，(x-z)^2=0
即x=y,y=z,x=z
整理得x=y=z

Answer 4

证明：∵x²+y²+z²=xy+yz+zx
∴x²+y²+z²-xy-yz-zx=0
两边同时乘以2，得
2x²+2y²+2z²-2xy-2yz-2zx=0
即x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+x²-2zx+z²=0
∴(x-y)²+(y-z)²+(x-z)²=0
∵(x-y)²≥0,(y-z)²≥0,(x-z)²≥0
∴(x-y)²=0,(y-z)²=0,(x-z)²=0
∴x-y=0,y-z=0,x-z=0
∴x=y,y=z,x=z
即x=y=z

Answer 5

x平方=xx
y平方=yy
z平方=zz
所以 xx+yy+zz=xy+xz+yz
仅当x=y=z时 成立