教学目标
1．使学生理解并掌握三垂线定理及其三垂线定理的逆定理；
2．通过对三垂线定理的探求过程，进一步渗透立体几何证明中的转化思想．具体体现在线线与线面垂直的辩证关系上；
3．能初步掌握三垂线定理与三垂线定理逆定理的应用．注意培养学生对变异形式下三垂线定理的应用能力．进一步提高学生的空间想象能力．
教学重点和难点
1．三垂线定理的引入与证明，在教学过程中发展学生的探索能力；
2．变异位置下三垂线定理的应用．
教学设计过程
师：请同学回忆空间中的两条直线具有什么样的位置关系？
（思维从问题开始，点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续）
生：相交、平行或异面．
师：对．我们可把上述三种情况表述为
其中空间两条直线平行，这种特殊位置关系我们已经研究过了．两条直线相交与异面的另一特殊位置关系——空间两直线互相垂直，值得作深入的研究．而相交两直线的垂直问题，我们已经在平面几何中作过系统的研究，现在我们重点研究异面直线互相垂直的情况．
（进一步点明研究空间直线和直线的垂直问题）
我们的问题是：如何判定两条异面直线的垂直位置关系呢？
生：根据两条异面直线互相垂直的定义来判定．即如果两条异面直线所成的角为90°，则称这两条异面直线互相垂直．
师：回答得很好．实际上是根据两条异面直线所成的角为直角来判定的．这是由两条异面直线垂直的定义来判定，即定义法．但这样归结为定义判定往往在操作上不是很简便，在今后的证明中运用也不太方便，能不能换一个角度考虑呢？有没有判定两条异面直线垂直的比较简便的方法呢？
（进一步调动学生思维，抛开定义去探求新的判定方法）
生：可利用直线和平面垂直的性质定理来判定．即如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和这个平面内的任何一条直线垂直，而平面内存在无数多条直线与该垂线异面，这样就可以判定了．
师：很好！同学们已经掌握了证明线线垂直的基本思维方法．要证线线垂直，只需证线面垂直．
（为三垂线定理的证明埋下伏笔！）
如图1，若l⊥α，a α，则l⊥a．
但这里l⊥α，情况太特殊了，如果l与a斜交呢？即l为平面α的斜线，能不能判定平面内的直线a与直线l垂直呢？
画出图2，a α，l∩α＝O，（l α）．这时你又如何判定a与l是否垂直呢？
（提出问题，请学生思考）
师：进一步启发（分析图2）根据线面垂直的定义，我们知道
如果直线a能垂直于过直线l的一个平面，那么a⊥l．
于是，新问题是：如何找出这样一个平面——过l且与a垂直的平面呢？我们知道，满足条件的这样一个平面必须有两条相交直线（l当然不在其内）都与直线a垂直，能不能先解决一部分，即先作出一条与l相交的直线又与a垂直呢？
（启而不发，由学生思考）
生：过l上一点P（异于点O），作PA⊥α于A，则由线面垂直的性质有a⊥PA．
师：很好！在图3中，作出PA⊥α于A（此时不连结AO），并板书
由PA∩PO＝P，确定平面PAO，要使a⊥l，只需a⊥平面PAO．故只要有平面PAO内的另一条直线与a垂直就行了！而平面PAO内的哪一条线用起来最方便呢？
板书上述思路
生：老师您应画出AO．
师：对！提得很好！两个平面相交要画出交线（用红笔作出直线AO．（如图4）
生：显然应填写a⊥AO．
（水到渠成，这就是本课的核心所在）
师：非常好．这已经是一个完美的思维近路了．
师：我们共同探求到一条重要定理．请试叙述这条定理，可按思维通路的脉络，用自己的语言表述．
生：一条直线如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
师：对吗？请同学看是否正确？
生：不对，首先应刻画“在平面内”的一条直线．
师：对！这非常重要（板书三垂线定理）．试分析定理中的关键词语，并用符号语言表述．
如图4，PA⊥α于A，PO∩α＝O，AO是PO在平面α上的射影．a α，若a⊥AO，则a⊥PO．
请写出条件和结论．（板书）
已知：PA⊥α于A，PO∩α＝O，（这里已隐含AO为斜线PO在平面α上的射影）a α，a⊥AO．
求证：a⊥PO．
（请学生完成证明过程．事实上通过前面的探求过程等于已把这条定理证明了．只要请学生到黑板板演，并订正即可）
证明：
师：你能给这条定理起个名字吗？
生甲：我从条件中发现有两个垂直关系．我给他起名叫“两垂线定理”．
（生哄笑）
师：好！如果是你第一个发现这条定理的，可能今天就叫两垂线定理了．结论中还有一个重要垂直呢？
生乙：最好叫三垂线定理吧！
师：好！这就是立体几何中重要的三垂线定理．它是证明空间线线垂直的重要定理．
两位同学总结了这三个垂直，哪个垂直是关键呢？显然平面α的垂线PA是关键！我们如何记忆这条定理呢？
生甲：平面内一直线只要与射影垂直，则与斜线垂直．
生乙：我记忆为先有平面内垂直，再转化到空间的垂直关系．
师：很好！两位同学的记忆方法各有千秋，可按自己的习惯给予记忆．实际上两位同学的本质是一样的，还应强调PA⊥α于A的前提条件和a α内的关键词语．
要深刻理解该定理的证明思路，证明中主要体现了什么数学思想？
生：转化的思想，即要证线线垂直，只要转化为证线面垂直，就可以了．
师：请同学探求一下平面内的直线a就这一条吗？
生：不止一条，因为在平面α内，只要与a平行的直线，就一定和射影垂直，则它必定和斜线垂直，这样的直线是一组平行直线．
师：演示一组抽拉投影片．如图5，只需将动片（含直线a的抽拉片）左、右抽动，即可显示这一组平行直线．当且仅当a通过O点时a与PO是共面垂直，而其余的都是异面垂直关系．
（图中框片1为固定不动，片2可以抽拉，a画在2上，左、右抽拉可显示a的运动过程为一组平行直线）
师：你能构造三垂线定理的逆命题吗？判断它是真命题吗？并证明．
（前面在三垂线定理的探求过程中，已把它的大前提、小前提及结论分析清楚，故在这里学生可比较顺利地构造出它的逆命题）
生：只要把三垂线定理中的小前提a⊥AO，与结论中的a⊥PO互换一下就可以了．
（师把板书中的条件a⊥AO与结论a⊥OP互换）
是真命题吗？
生：是！与三垂线定理的证明思路一样．
例1 如图6，PA垂直于以AB为直径的圆O平面，C为圆O上任一点（异于A，B）．试判断图中共有几个直角三角形，并说明理由．
（这是立体几何中一个重要图形．既有线面垂直问题，又有线线垂直，既有三垂线定理的应用，又有平面几何知识的运用）
生甲：两个．分别是Rt△PAC，Rt△PAB．
生乙：三个．还应有Rt△PCB．
师：谁是直角？理由是什么．
生乙：∠PCB，由三垂线定理可证．
师：你能叙述一下吗？根据三垂线定理的操作程序叙述清楚．
生乙：因为PA⊥⊙O平面，PC∩⊙O面＝C，因为∠ACB＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥PC．
师：生乙证明中，什么地方还应再强调一下．
生丙：BC 平面⊙O．
师：除这三个直角三角形外，还有吗？
生：还应有一个Rt△ABC，因为直径上的圆周角为直角．
师：好！这样才全面认识了这个空间图形．事实上图形P-ABC是一个三棱锥．原来三棱锥的四个面可以都是直角三角形，请同学思考：你能再构造一个三棱锥，使它的四个面全是直角三角形吗？（课下继续思考）
师：通过例1，作出判断的关键是什么？
生：平面的垂线PA是关键，有它就能保证前三个Rt△．
例2 如图7，PA⊥矩形ABCD所在的平面，且AB＝3，AD＝4，PA＝3，求点P到CD，AB和BD的距离．
（此例的关键是用三垂线定理．作出它们的距离，再化归为解Rt△的问题．可能有如下典型错误）
1．学生往往还是应用直角三角板，用平面几何方法过P作PH⊥CD于H，使∠PHC＝90°，如图8．通过此例进一步说明用概念指导作图的重要性．进一步阐述空间图形中保平行不保角的规律，经启发学生可发现只要连结PD，由三垂线定理可保证PD⊥CD于D，于是PD就是点P到直线CD的距离．
2．连结BD，AC，令AC∩BD＝O，连结PO，则PO是P到BD的距离．这里误认为ABCD为正方形了！
对第三个问题的分析，可说明既可利用三垂线定理构造点P到BD的距离．又可先作出距离PH．如图9，再用三垂线定理的逆定理证明AH⊥BD．再通过解Rt△ABD，求出斜边上的高AH，最后可解PH．
师：请给出完美的简答．
生：如图10，连结PB．
因为PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，且BC 平面ABCD
所以PB⊥BC，于是PB为点P到直线BC的距离．
同理，连结PD，则PD为点P到直线CD的距离，解出PD＝5，即点P到CD的距离为5；
在平面内过A作AH⊥BD于H，连PH．由三垂线定理有PH⊥BD，所以PH为点P到直线BD的距离．在Rt△ABD中，有AH＝
（通过此例进一步阐述解立体几何计算题，离不开必要的证明．解题的操作程序一般是：一找、二作、三证、四指、五计算，注意解题规范化的训练）
例3 如图11，正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对直线是否垂直，为什么？
（1）D1B与AC；
（2）D1B与A1C1；
（3）D1B与AB1；
（4）D1B与B1C．
（通过例3，培养学生能在变异形式下应用三垂线定理的能力）
生甲：（1）D1B⊥AC，连结BD，因为正方体AC1，所以AC⊥BD，AC 平面ABCD．D1D⊥平面ABCD．由三垂线定理，有AC⊥BD1．
生乙：（2）D1B与A1C1垂直，因为正方体AC1，所以A1C1‖AC，因为D1B⊥AC，所以D1B⊥A1C1．
师：好！还有不同的证法吗？
生丙：可用三垂线定理证明，只要连结D1B1即可．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，且A1C1⊥B1D1，由三垂线定理，有A1C1⊥BD1．
师：好！两位同学从不同角度都能判定D1B⊥A1C1．
生丙同学能在变异形式下应用三垂线定理，这种能力我们要有意识地进行培养和训练．
师：D1B和AB1的位置关系呢？
生丁：还是垂直位置关系，这里D1A1⊥平面ABB1A1，连A1B，则由三垂线定理可证D1B和AB1垂直．
师：很好！这里基础平面是ABB1A1，而面的垂线是D1A1，A1B是D1B在平面ABB1A1上的射影．于是构造出应用三垂线定理的条件，使问题得到解决．
那么D1B与B1C呢？
生：当然还垂直了！依据的还是三垂线定理，这里基础平面是BCC1B1，面的垂线是D1C1．
师：通过一组投影片，演示变异形式下三垂线定理的应用．（以正方体为载体）
（1）如图12，换一个角度看问题．试判断正方体对角线A1C和面对角线BD的位置关系．
显然A1A⊥平面ABCD，A1C∩平面ABCD于C，则AC为A1C在平面ABCD上的射影，又BD⊥AC，所以BD⊥A1C．（三垂线定理）
（2）如图13，试判断正方体对角线B1D与面对角线AD1的位置关系．
演示投影片，将正方体中局部旋转成图12下部分，于是问题就化归为（1）的问题结论．最后再覆盖上含辅助线与字母的图形，如图14，即化归为三垂线定理的常规图形．
对变异形式下三垂线定理的应用，是立体几何中一个重要能力要求．
例4 有一方木料，右侧面上有一点M，要经过点M在右侧面画一条直线和AM的连线垂直，应该怎样画．（如图15）
（在前三个例题的基础上，例4可较顺利地得到解决）
生：连结BM，AM，因为AB⊥平面BCC1B1，所以BM为AM在平面BCC1B1上的射影．因此只需在平面BCC1B1上，过点M作BM的垂线EF即可，其理论依据是三垂线定理．
课堂教学小结
这节课我们通过对“平面内是否存在与平面的斜线垂直的直线”问题的探讨．具体方法是把问题转化为“平面内的直线与平面的斜线在平面上唯一的直线——射影”的位置关系的研究，而得出三垂线定理．这充分体现了研究立体几何的基本思想方法——降维转化的思想方法，将空间问题转化为平面问题来解决．
对三垂线定理本质的理解有如下四点：
（1）从证明思路看
a⊥AO
a⊥平面AOP
a⊥PO
（2）三垂线定理及其逆定理是空间两条直线垂直的判定定理．对证明线线垂直问题有着广泛的应用．
（3）对“三垂线”的解释
定理中涉及到五个空间元素（一面和四线）：平面α，α的垂线PA，α的斜线PO，PO在α上的射影AO及平面α内的直线a．其中“三垂线”的解释是多样的．如：
也可理解为
后一种理解，本质上是应用三垂线定理的思维程序与操作程序．“一面四线”中面的垂线是关键，运用三垂线定理解题时，首先要确定平面α，再抓住面的垂线PA，其他直线即相应产生，即可在各种变式情况下分清各元素的关系．
（4）若研究了命题的充要条件，又可小结为：“平面内直线与平面的斜线垂直的充要条件是平面内的直线垂直于斜线的射影．”
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